第一章 加法器

                                      第一章 加法器

一、数据格式

1. 定点数表示法：ｘ＝ｘ0ｘ1ｘ2…ｘn ，ｘ0: 符号位，0代表正，1代表负。

2. 浮点表示法：

         一个机器浮点数由阶码和尾数及其符号位组成（尾数：用定点小数表示，给出有效数字的位数决定了浮点数的表示精度；阶码：用整数形式表示，指明小数点在数据中的位置，决定了浮点数的表示范围。）：

32位浮点数的IEEE754标准格式为：

Ｓ：浮点数的符号位，1 位，0表示正数，1表示负数。

Ｍ：尾数，23位，用小数表示，小数点放在尾数域的最前面。

Ｅ：阶码，8 位阶符采用隐含方式，采用移码来表示正负指数。

         移码方法对两个指数大小的比较和对阶操作都比较方便，因为阶码域值大者其指数值也大。采用这种方式时，将浮点数的指数真值e变成阶码Ｅ时，应将指数 e 加上一个固定的偏移值127(01111111)，即 Ｅ＝e＋127.

一个规格化的32位浮点数ｘ的真值可表示为

ｘ＝(－1)S×(1.Ｍ)×2Ｅ－127　       e＝Ｅ－127   

一个规格化的64位浮点数ｘ的真值为

ｘ＝(－1)s×(1.Ｍ)×2Ｅ－1023        e＝Ｅ－1023

　　  为提高数据的表示精度，当尾数的值不为 0时，尾数域的最高有效位应为1,否则以修改阶码同时左右移小数点的办法，使其变成这一表示形式，这称为浮点数的规格化表示。 当浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。当阶码E 为全0且尾数M 也为全0时，表示的真值x 为零，结合符号位S 为0或1，有正零和负零之分。当阶码E 为全1且尾数M为全0时，表示的真值x 为无穷大，结合符号位S 为0或1，也有+∞和-∞之分。这样在32位浮点数表示中，要除去E用全0和全1(255)10表示零和无穷大的特殊情况，指数的偏移值不选128(10000000)，而选127(01111111)。对于规格化浮点数，E的范围变为1到254，真正的指数值e则为-126到+127。因此32位浮点数表示的绝对值的范围是10-38~1038（以10的幂表示）。

二、加法器

        所有的加、减、乘、除四则运算，最終都是将其转化为加法运算来实现的，所以，加法运算是运算电路的核心。实现半加运算的电路叫做半加器（HalfAdder）。半加器有两个二进制的输入，其将输入的值相加，并输出结果到和（Sum）和进位（Carry）。半加器虽能产生进位值，但半加器本身并不能处理进位值。

  S = A + B

  C = A & B

一位元全加器：

         全加器三个二进制的输入，其中一个是进位值的输入，所以全加器可以处理进位值。全加器可以用两个半加器组合而成。

Si = ( Ai + Bi ) + Ci

Ci+1 = ( Ai & Bi ) + ( Ci & ( Ai + Bi ))

三、并行加法器

           并行加法器中全加器的位数与操作数的位数相同，可同时对各位相加。影响速度的主要是传递进位信号的进位链。而优化设计的主要目标是高速、低耗、资源(面积)开销小，其关键是构思高速、高效的进位算法与结构。一流的高速加法器有：超前进位加法器、跳跃进位加法器、树形结构加法器、对数跳跃进位加法器、混合超前进位／选择进位加法器、顶层进位级联超前进位加法器等。这些高速、高效的进位方法一般都是在超前进位基础上的改进或者混合进位。因此，超前进位加法器(简称CLA)很自然地成为优化设计比较的基准。在结构方面，行波进位加法器是最简单的整数加法器；它的时间复杂度是O(n)。跳跃进位加法器对于位数少的加法是相当有效的，但对于长位数的加法，由于该加法器的时间复杂度是o(n^-0.5)(其效果并不明显)。超前进位加法器有着O(log2n)的时间复杂度，因此是最快的加法器算法。由于超前进位加法器速度快、结构模块化，使它得以广泛的应用。这种算法利用大量的硬件开销实现产生进位信号的电路，运算时间减少比较明显。

1、行波进位加法器

 

          由上图看到，n个1位的全加器(FA)可级联成一个n位的行波进位加减器。图中左边还表示出单符号位法的溢出检测逻辑；当Cn＝Cn-1时，运算无溢出；而当

Cn≠Cn-1时，运算有溢出，经异或门产生溢出信号。

         对一位全加器(FA)来说，Si的时间延迟为4T(每级异或门延迟2T)，Ci+1的时间延迟为4T，其中T被定义为相应于单级逻辑电路的单位门延迟。T通常采用一个“与非”门或一个“或非”门的时间延迟来作为度量单位。

　　n位行波进位加法器的延迟时间ta为：

                      ta＝n•2T＋6T＝(2n＋6)T

6T为最低位上的两极“异或”门再加上溢出“异或”门的总时间，2T为每级进位链的延迟时间。

2、超前进位加法器（CLA）

          超前进位链能够有效减少进位的延迟，它由进位门产生进位，各进位彼此独立，不依赖于进位传播。因此延迟非常小，速度非常高。

        设一个n位的加法器的第i位输入为ai、bi、Ci，输出si和Ci+l，其中ci是低位来的进位，ci+l(i =n-1，n-2，⋯，1，O)是向高位的进位，Co是整个加法器的进位输入，而Cn是整个加法器的进位输出。则有：

Si = ai + bi +Ci               (1)

Ci+1 = ai&bi + Ci&(ai +bi)     (2)

令：

Gi = ai&bi

Pi = ai + bi

则有：Ci+l = Gi +Pi•Ci            

只要Gi = ai&bi = l，就会产生向Ci+l位的进位，称Gi为进位产生函数；同样，只要Pi = ai + bi =l，就会把Ci传递到Ci+1位，所以称Pi为进位传递函数。

随着位数的增加式(2)会加长，但总保持三个逻辑级的深度，因此形成进位的延迟是与位数无关的常数。一旦进位(Cl---Cn-1)算出以后，和也就可由式(1)得出。

         对于4位的加法器，异或门需2T，产生Gi和Pi需要2级门延迟，Ci需要4级，si需要4级，总共需要4级门延迟。与串联加法器(一般要2n级门延迟)相比，(特别是n比较大的时候)超前进位加法器的延迟时间大大缩短了。对于16位来说，需增加第二层超前进位链逻辑，总共需要7级门延迟。对于64位来说，需增加第三层超前进位链逻辑，总共需要10级门延迟；而串联加法器需2*64 + 6 = 134级门延迟。

C4 = G3 + P3C3 = G3 + P3G2 + P3P2G1 + P3P2P1G0 + P3P2P1P0C0

所以：P = P3P2P1P0,  !G = !G3 & !P3G2 &!P3P2G1 & !P3P2P1G0

C4 = G + PC0 = !(!G & !PC0)

所以，P、G就成为下一层的进位传递与产生函数。

64位超前进位加法器总共需5*64 + 19*16 + 19*4 + 19 = 719个门逻辑。实际上还要更多的门；需考虑，减法运算，乘法运算等来共享64位超前进位加法器；所以，还需多路器逻辑门等等。

3、进位旁路加法器（CSKA）

          设计加速一个宽位加法器，它使进位绕过整个加法器的一部分进行传播。对4位一组的加法器情形，第一组的进位输入位表示成C0，而4位加法器本身产生一个进位输出位C4。如果Ai、Bi其中都有一个为1，而C0为1；那么，自然会产生进位C4=1。如果使用一个相应的进位逻辑门旁路电路；只需要5级门延迟。而不会像4位行波进位加法器那样需12级门延迟。跳跃进位旁路加法器就是在行波进位加法器的Cin—Cout路径中，通过增加旁路逻辑门电路来加速加法器的进位传递。速度自然要比行波进位加法器快不少。

4、进位选择加法器（CSA）

           其主要思想即将前一级的进位先假定为1或者0，之后分别计算出一个结果，然后再用前一级的进位来选择得到相应的结果，这样后级的计算就不用等候前一级的进位，而是和前级的计算并行进行，之后再做一个选择，从而达到快速运算的目的，当然所付出的代价是它要增加加法器和MUX以及相应的互联线，牺牲一定的面积和功耗。如果4位一组，64位加法器需16组，组间是串行传递，MUX需要2级门延迟；所以，总共需36级门延迟。开头的2组用超前进位加法器（CLA），后面的组就可用行波进位加法器了。用空间换时间，比行波进位加法器提速了不少。

           应当注意的是：在用变长分组的进位选择加法器中，用于选择的信号扇出负载为x-y+l。由于加法器构造过程中，每向后一级，加法器位宽都会拓宽其两个子加法器位宽之和，因而这两个选择信号的扇出负载也会逐级提高，因而各个多路选择器(MUX)的数据选取速度也会逐级降低。

5、　4-2压缩加法器

        在部分积求和网络模块中,为了获得较高的速度,采用了改进的4-2压缩加法器结构。4-2压缩器通过将具有相同权值的4个部分积减少到2个来提高并行度。传统的4-2压缩器是由2个串行连接的全加器所组成。

            如果是5个1相加，结果应是101。而这里并不是将2个进位相加，而是产生2个进位Cout，C和一位的结果S。既是：Cout，C，S都是1。Cout将作为高一个位的进位保留位的进位输入；而C是本位的进位保留位。“进位保留”是指先保留进位输出而不是立即用它来计算最终的和。而是将进位保留到下一级的加法器进行，避免了进位链的延时。所以一个4-2压缩加法器总共需6级门延迟。

           4-2压缩加法器主要应用于乘法器的运算。整个乘法器的速度，主要有三部分组成：Booth 编解码单元或APO 编解码单元、4-2压缩单元与CLA 快速求和单元。APO编码是完成缩减部分积数量的算法，每次扫描2位数据，将部分积数量缩减了50%。31位乘数（符号位取0）采用APO算法编码后与被乘数相乘得到16 行部分积；接着基于4-2压缩器的第一级4个压缩单元将部分积压缩成Carry、Sum形式的两行部分积共4组，之后；第二级2个压缩单元将前面的4组8行数据再压缩成Carry、Sum形式的两行部分积共2组，之后；第三级1个压缩单元将前面的2组4行数据再次压缩成Carry、Sum形式的两行部分积共1组2行数据。最后用64位超前进位加法器（CLA）完成最终两行部分积的快速求和结果。乘法器总共需APO算法4级门延迟 + 三级4-2压缩加法器(3*6 )18级门延迟 =22级门延迟。因64位超前进位加法器是使用流水部件，延迟不计算。如果一个门延迟是小于23PS，那么32位乘法器有望速度能达到0.5ns。占用2个时钟周期。

     光走过一米的距离大约需3.3ns，如果走过30纳米的距离大约需0.0001ps，而电信号，由于电容、电感、电阻的存在就慢多了。