【物理模拟手法介绍】--有限差分法(FDM)和有限体积(FVM)

有限差分法简介

有限差分法(FDM : Finite Difference Method)是偏微分方程(PDE:Partial Differential Equation)的数值解法之一。先把计算空间按照有限size的空间大小进行分割，然后在每个子空间內的点（子空间或边界的中心）上定义物理量（未知量）。根据这些未知量间值的有限差分，求取分割后定义点间的距离等（差分商）的微分近似值，来求解PDE。

例如，偏微分按照下式所示，求极限的方法来定义。

当很小的情况下（不为零），可以得到如下这样的近似式（差分式）。

这就是我们所说的近似差分。一种微分用差分商替换的方法。这个方法中， 越小精度越高。本例使用了前进差分 (forward difference)， 另外也有后退差分(backward difference)，中心差分(central difference)等方法。

有限体积法简介

在有限体积法(FVM : Finite Volume Method)中，计算空间也是被划分成有限大小的子空间的，这一步与上述有限差分法相同。但是与在子空间内的点（子空间或边界的中心）上定义物理量的有限差分法相比，有限体积法是把每个子空间内的物理量的平均值当作未知数，计算其随时间的变化。