吴恩达Coursera深度学习课程 DeepLearning.ai 提炼笔记(2-2)-- 优化算法


作者: 大树先生
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2017 年 10 月 11 日


以下为在Coursera上吴恩达老师的DeepLearning.ai课程项目中,第二部分《改善深层神经网络:超参数调试、正则化以及优化》第二周课程“优化算法”关键点的笔记。因为这节课每一节的知识点都很重要,所以本次笔记几乎涵盖了全部小视频课程的记录。同时在阅读以下笔记的同时,强烈建议学习吴恩达老师的视频课程,视频请至 Coursera 或者 网易云课堂。


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改善深层神经网络:超参数调试、正则化以及优化 —优化算法

1. Mini-batch 梯度下降法

对整个训练集进行梯度下降法的时候,我们必须处理整个训练数据集,然后才能进行一步梯度下降,即每一步梯度下降法需要对整个训练集进行一次处理,如果训练数据集很大的时候,如有500万或5000万的训练数据,处理速度就会比较慢。

但是如果每次处理训练数据的一部分即进行梯度下降法,则我们的算法速度会执行的更快。而处理的这些一小部分训练子集即称为Mini-batch。

算法核心:

吴恩达Coursera深度学习课程 DeepLearning.ai 提炼笔记(2-2)-- 优化算法_第1张图片

对于普通的梯度下降法,一个epoch只能进行一次梯度下降;而对于Mini-batch梯度下降法,一个epoch可以进行Mini-batch的个数次梯度下降。

不同size大小的比较

普通的batch梯度下降法和Mini-batch梯度下降法代价函数的变化趋势,如下图所示:

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  • batch梯度下降:
    • 对所有m个训练样本执行一次梯度下降,每一次迭代时间较长;
    • Cost function 总是向减小的方向下降。
  • 随机梯度下降:
    • 对每一个训练样本执行一次梯度下降,但是丢失了向量化带来的计算加速;
    • Cost function总体的趋势向最小值的方向下降,但是无法到达全局最小值点,呈现波动的形式。
  • Mini-batch梯度下降:
    • 选择一个 1<size<m 1 < s i z e < m 的合适的size进行Mini-batch梯度下降,可以实现快速学习,也应用了向量化带来的好处。
    • Cost function的下降处于前两者之间。

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Mini-batch 大小的选择

  • 如果训练样本的大小比较小时,如 m2000 m ⩽ 2000 时 —— 选择batch梯度下降法;
  • 如果训练样本的大小比较大时,典型的大小为:
    2627210 2 6 、 2 7 、 ⋯ 、 2 10
  • Mini-batch的大小要符合CPU/GPU内存。

2. 指数加权平均

指数加权平均的关键函数:

vt=βvt1+(1β)θt v t = β v t − 1 + ( 1 − β ) θ t

下图是一个关于天数和温度的散点图:

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  • β=0.9 β = 0.9 时,指数加权平均最后的结果如图中红色线所示;
  • β=0.98 β = 0.98 时,指数加权平均最后的结果如图中绿色线所示;
  • β=0.5 β = 0.5 时,指数加权平均最后的结果如下图中黄色线所示;

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理解指数加权平均

例子,当 β=0.9 β = 0.9 时:

v100=0.9v99+0.1θ100v99=0.9v98+0.1θ99v98=0.9v97+0.1θ98 v 100 = 0.9 v 99 + 0.1 θ 100 v 99 = 0.9 v 98 + 0.1 θ 99 v 98 = 0.9 v 97 + 0.1 θ 98 …

展开:

v100=0.1θ100+0.9(0.1θ99+0.9(0.1θ98+0.9v97))=0.1θ100+0.1×0.9θ99+0.1×(0.9)2θ98+0.1×(0.9)3θ97+ v 100 = 0.1 θ 100 + 0.9 ( 0.1 θ 99 + 0.9 ( 0.1 θ 98 + 0.9 v 97 ) ) = 0.1 θ 100 + 0.1 × 0.9 θ 99 + 0.1 × ( 0.9 ) 2 θ 98 + 0.1 × ( 0.9 ) 3 θ 97 + ⋯

上式中所有 θ θ 前面的系数相加起来为1或者接近于1,称之为偏差修正。

总体来说存在, (1ε)1/ε=1e ( 1 − ε ) 1 / ε = 1 e ,在我们的例子中, 1ε=β=0.9 1 − ε = β = 0.9 ,即 0.9100.351e 0.9 10 ≈ 0.35 ≈ 1 e 。相当于大约10天后,系数的峰值(这里是0.1)下降到原来的 1e 1 e ,只关注了过去10天的天气。

指数加权平均实现

v0=0v1=βv0+(1β)θ1v2=βv1+(1β)θ2v3=βv2+(1β)θ3 v 0 = 0 v 1 = β v 0 + ( 1 − β ) θ 1 v 2 = β v 1 + ( 1 − β ) θ 2 v 3 = β v 2 + ( 1 − β ) θ 3 …

因为,在计算当前时刻的平均值,只需要前一天的平均值和当前时刻的值,所以在数据量非常大的情况下,指数加权平均在节约计算成本的方面是一种非常有效的方式,可以很大程度上减少计算机资源存储和内存的占用。

指数加权平均的偏差修正

在我们执行指数加权平均的公式时,当 β=0.98 β = 0.98 时,我们得到的并不是图中的绿色曲线,而是下图中的紫色曲线,其起点比较低。

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  • 原因:

    v0=0v1=0.98v0+0.02θ1=0.02θ1v2=0.98v1+0.02θ2=0.98×0.02θ1+0.02θ2=0.0196θ1+0.02θ2 v 0 = 0 v 1 = 0.98 v 0 + 0.02 θ 1 = 0.02 θ 1 v 2 = 0.98 v 1 + 0.02 θ 2 = 0.98 × 0.02 θ 1 + 0.02 θ 2 = 0.0196 θ 1 + 0.02 θ 2

    如果第一天的值为如 40 40 ,则得到的 v1=0.02×40=0.8 v 1 = 0.02 × 40 = 0.8 ,则得到的值要远小于实际值,后面几天的情况也会由于初值引起的影响,均低于实际均值。

  • 偏差修正:
    使用 vt1βt v t 1 − β t

    • t=2 t = 2 时:
      1βt=1(0.98)2=0.0396 1 − β t = 1 − ( 0.98 ) 2 = 0.0396

      v20.0396=0.0196θ1+0.02θ20.0396 v 2 0.0396 = 0.0196 θ 1 + 0.02 θ 2 0.0396

      偏差修正得到了绿色的曲线,在开始的时候,能够得到比紫色曲线更好的计算平均的效果。随着 t t 逐渐增大, βt β t 接近于0,所以后面绿色的曲线和紫色的曲线逐渐重合了。

虽然存在这种问题,但是在实际过程中,一般会忽略前期均值偏差的影响。

3. 动量(Momentum)梯度下降法

动量梯度下降的基本思想就是计算梯度的指数加权平均数,并利用该梯度来更新权重。

在我们优化 Cost function 的时候,以下图所示的函数图为例:

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在利用梯度下降法来最小化该函数的时候,每一次迭代所更新的代价函数值如图中蓝色线所示在上下波动,而这种幅度比较大波动,减缓了梯度下降的速度,而且我们只能使用一个较小的学习率来进行迭代。

如果用较大的学习率,结果可能会如紫色线一样偏离函数的范围,所以为了避免这种情况,只能用较小的学习率。

但是我们又希望在如图的纵轴方向梯度下降的缓慢一些,不要有如此大的上下波动,在横轴方向梯度下降的快速一些,使得能够更快的到达最小值点,而这里用动量梯度下降法既可以实现,如红色线所示。

算法实现

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β β 常用的值是0.9。

在我们进行动量梯度下降算法的时候,由于使用了指数加权平均的方法。原来在纵轴方向上的上下波动,经过平均以后,接近于0,纵轴上的波动变得非常的小;但在横轴方向上,所有的微分都指向横轴方向,因此其平均值仍然很大。最终实现红色线所示的梯度下降曲线。

算法本质解释

在对应上面的计算公式中,将Cost function想象为一个碗状,想象从顶部往下滚球,其中:

  • 微分项 dw,db d w , d b 想象为球提供的加速度;
  • 动量项 vdw,vdb v d w , v d b 相当于速度;

小球在向下滚动的过程中,因为加速度的存在速度会变快,但是由于 β β 的存在,其值小于1,可以认为是摩擦力,所以球不会无限加速下去。

4. RMSprop

除了上面所说的Momentum梯度下降法,RMSprop(root mean square prop)也是一种可以加快梯度下降的算法。

同样算法的样例实现如下图所示:

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这里假设参数b的梯度处于纵轴方向,参数w的梯度处于横轴方向(当然实际中是处于高维度的情况),利用RMSprop算法,可以减小某些维度梯度更新波动较大的情况,如图中蓝色线所示,使其梯度下降的速度变得更快,如图绿色线所示。

在如图所示的实现中,RMSprop将微分项进行平方,然后使用平方根进行梯度更新,同时为了确保算法不会除以0,平方根分母中在实际使用会加入一个很小的值如 ε=108 ε = 10 − 8

5. Adam 优化算法

Adam 优化算法的基本思想就是将 Momentum 和 RMSprop 结合起来形成的一种适用于不同深度学习结构的优化算法。

算法实现

  • 初始化: Vdw=0Sdw=0Vdb=0Sdb=0 V d w = 0 , S d w = 0 , V d b = 0 , S d b = 0
  • t t 次迭代:
    • Compute dwdb d w , d b on the current mini-batch
    • Vdw=β1Vdw+(1β1)dwVdb=β1Vdb+(1β1)db V d w = β 1 V d w + ( 1 − β 1 ) d w , V d b = β 1 V d b + ( 1 − β 1 ) d b <–“Momentum”
    • Sdw=β2Sdw+(1β2)(dw)2Sdb=β2Sdb+(1β2)(db)2 S d w = β 2 S d w + ( 1 − β 2 ) ( d w ) 2 , S d b = β 2 S d b + ( 1 − β 2 ) ( d b ) 2 <–“RMSprop”
    • Vcorrecteddw=Vdw/(1βt1)Vcorrecteddb=Vdb/(1βt1) V d w c o r r e c t e d = V d w / ( 1 − β 1 t ) , V d b c o r r e c t e d = V d b / ( 1 − β 1 t ) <– 偏差修正
    • Scorrecteddw=Sdw/(1βt2)Scorrecteddb=Sdb/(1βt2) S d w c o r r e c t e d = S d w / ( 1 − β 2 t ) , S d b c o r r e c t e d = S d b / ( 1 − β 2 t ) <– 偏差修正
    • w:=wαVcorrecteddwScorrecteddw+εb:=bαVcorrecteddbScorrecteddb+ε w := w − α V d w c o r r e c t e d S d w c o r r e c t e d + ε , b := b − α V d b c o r r e c t e d S d b c o r r e c t e d + ε

超参数的选择

  • α α :需要进行调试;
  • β1 β 1 :常用缺省值为0.9, dw d w 的加权平均;
  • β2 β 2 :推荐使用0.999, dw2 d w 2 的加权平均值;
  • ε ε :推荐使用 108 10 − 8

Adam代表的是Adaptive Moment Estimation。

6. 学习率衰减

在我们利用 mini-batch 梯度下降法来寻找Cost function的最小值的时候,如果我们设置一个固定的学习速率 α α ,则算法在到达最小值点附近后,由于不同batch中存在一定的噪声,使得不会精确收敛,而一直会在一个最小值点较大的范围内波动,如下图中蓝色线所示。

但是如果我们使用学习率衰减,逐渐减小学习速率 α α ,在算法开始的时候,学习速率还是相对较快,能够相对快速的向最小值点的方向下降。但随着 α α 的减小,下降的步伐也会逐渐变小,最终会在最小值附近的一块更小的区域里波动,如图中绿色线所示。

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学习率衰减的实现

  • 常用:
    α=11+decay_rateepoch_numα0 α = 1 1 + d e c a y _ r a t e ∗ e p o c h _ n u m α 0
  • 指数衰减:
    α=0.95epoch_numα0 α = 0.95 e p o c h _ n u m α 0
  • 其他:
    α=kepoch_numα0 α = k e p o c h _ n u m ⋅ α 0
  • 离散下降(不同阶段使用不同的学习速率)

6. 局部最优问题

在低纬度的情形下,我们可能会想象到一个Cost function 如左图所示,存在一些局部最小值点,在初始化参数的时候,如果初始值选取的不得当,会存在陷入局部最优点的可能性。

但是,如果我们建立一个神经网络,通常梯度为零的点,并不是如左图中的局部最优点,而是右图中的鞍点(叫鞍点是因为其形状像马鞍的形状)。

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在一个具有高维度空间的函数中,如果梯度为0,那么在每个方向,Cost function可能是凸函数,也有可能是凹函数。但如果参数维度为2万维,想要得到局部最优解,那么所有维度均需要是凹函数,其概率为 220000 2 − 20000 ,可能性非常的小。也就是说,在低纬度中的局部最优点的情况,并不适用于高纬度,我们在梯度为0的点更有可能是鞍点。

在高纬度的情况下:
* 几乎不可能陷入局部最小值点;
* 处于鞍点的停滞区会减缓学习过程,利用如Adam等算法进行改善。


本周(Week2)的编程作业总结请参见:

吴恩达Coursera深度学习课程 DeepLearning.ai 编程作业(2-2)

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