向量空间 内积空间 欧氏空间 希尔伯特空间

向量空间

向量空间一个最大的特征是对加法运算和数乘运算封闭。n维向量空间的定义是n维实向量全体构成的集合，同时考虑到向量的线性运算，成为实n维向量空间，用${\mathbb{R}}^n$表示，显然${\mathbb{R}}^n$中任意两个向量的和向量还是${\mathbb{R}}^n$中的向量，${\mathbb{R}}^n$中任意一个向量与一个实数的乘积也是${\mathbb{R}}^n$中的向量。

定义了距离后，我们再加上线性结构，如向量的加法、数乘，使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位一；数乘与加法的结合律（两个）共八点要求，从而形成一个线性空间，这个线性空间就是向量空间。

欧氏空间

欧氏空间也称为欧几里得空间，是带有“内积”的实数域上的一类向量空间。引入内积的目的是能够计算两点间的距离和夹角。向量空间中的向量对应于欧几里得平面中的点，在向量空间中的加法运算对应于欧几里得空间中的平移。

欧氏空间的定义：
​设V是数域P上的线性空间，定义一个代数运算（V×V－>P），记为 (ɑ,ß) 。如果(ɑ,ß)满足下列条件：

​1) 对称性：(ɑ,ß) = (ß,ɑ)；
​2) 可加性：(ɑ+ß,γ) = (ɑ,γ) + (ß,γ)；
3) 齐次性：(kɑ,ß) = k(ɑ,ß)；
​4) 非负性：(ɑ,ɑ)≥0，当且仅当ɑ=0时(ɑ,ɑ)=0，

​其中k是数域P中的任意数，ɑ、ß、γ是V中的任意元素，则称(ɑ,ß)为ɑ与ß的内积，定义了内积的线性空间V称为内积空间，称实数域R上的内积空间V为Euclid空间（欧式空间）。

内积空间

内积空间是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。

希尔伯特空间

希尔伯特空间即是完备的内积空间，首先说明一下完备性。完备空间或者完备度量空间是指空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。柯西序列中的元素随着序数的增加而愈发靠近。更确切的说，在去掉优先个元素后，可以使得余下的元素中的任何两点间的距离的最大值不超过任意给定的正常数。

欧几里德空间的一个推广，其不再局限于有限维的情形。又称无穷维欧化空间，
与欧几里德空间相仿，希尔伯特空间也是一个内积空间，其上有距离和角的概念（及由此引伸而来的正交性与垂直性的概念）。此外，希尔伯特空间还是一个完备的空间，其上所有的柯西列等价于收敛列，从而微积分中的大部分概念都可以无障碍地推广到希尔伯特空间中。希尔伯特空间为基于任意正交系上的多项式表示的傅立叶级数和傅立叶变换提供了一种有效的表述方式，而这也是泛函分析的核心概念之一。希尔伯特空间是公设化数学和量子力学的关键性概念之一。

总结

1. 线性完备内积空间称作希尔伯特空间
2. 线性完备赋范空间称作巴拿赫空间
3. 有限维线性内积空间称作欧几里得空间

参考链接1
参考链接2
参考链接3(这篇写的比较详细)