KL散度、JS散度、Wasserstein距离

1. KL散度

KL K L 散度又称为相对熵，信息散度，信息增益。 KL K L 散度是是两个概率分布P和Q 差别的非对称性的度量。 KL K L 散度是用来 度量使用基于Q的编码来编码来自P的样本平均所需的额外的位元数。 典型情况下，P表示数据的真实分布，Q表示数据的理论分布，模型分布，或P的近似分布。

定义如下：

DKL(P//Q)=−∑x∈XP(x)log1P(x)+∑x∈XP(x)log1Q(x) D K L ( P / / Q ) = − ∑ x ∈ X P ( x ) l o g 1 P ( x ) + ∑ x ∈ X P ( x ) l o g 1 Q ( x )

因为对数函数是凸函数，所以 KL K L 散度的值为非负数。

有时会将 KL K L 散度称为 KL K L 距离，但它并不满足距离的性质：

1. KL散度不是对称的: KL(A,B) K L ( A , B ) ≠ ≠ KL(B,A) K L ( B , A )

2. KL散度不满足三角不等式: KL(A,B) K L ( A , B ) > > KL(A,C)+KL(C,B) K L ( A , C ) + K L ( C , B )

2. JS散度(Jensen-Shannon)

JS J S 散度度量了两个概率分布的相似度，基于 KL K L 散度的变体，解决了KL散度非对称的问题。一般地， JS J S 散度是对称的，其取值是0到1之间。定义如下：

KL K L 散度和 JS J S 散度度量的时候有一个问题：

如果两个分配P,Q离得很远，完全没有重叠的时候，那么KL散度值是没有意义的，而JS散度值是一个常数。这在学习算法中是比较致命的，这就意味这这一点的梯度为0。梯度消失了。

3. Wasserstein距离

Wasserstein W a s s e r s t e i n 距离度量两个概率分布之间的距离，定义如下：

Π(P1,P2) Π ( P 1 , P 2 ) 是 P1 P 1 和 P2 P 2 分布组合起来的所有可能的联合分布的集合。对于每一个可能的联合分布γ，可以从中采样 (x,y)∼γ ( x , y ) ∼ γ 得到一个样本x和y，并计算出这对样本的距离||x−y||，所以可以计算该联合分布 γ γ 下，样本对距离的期望值 E(x,y)∼γ[||x−y||] E ( x , y ) ∼ γ [ | | x − y | | ] 。在所有可能的联合分布中能够对这个期望值取到的下界 infγ i n f γ ∼ Π(P1,P2) Π ( P 1 , P 2 ) E(x,y) ∼γ[||x−y||] ∼ γ [ | | x − y | | ] 就是Wasserstein距离。

直观上可以把 E(x,y)∼γ[||x−y||] E ( x , y ) ∼ γ [ | | x − y | | ] 理解为在 γ γ 这个路径规划下把土堆P1挪到土堆P2所需要的消耗。而 Wasserstein W a s s e r s t e i n 距离就是在最优路径规划下的最小消耗。所以 Wesserstein W e s s e r s t e i n 距离又叫Earth-Mover距离。

Wessertein距离相比KL散度和JS散度的优势在于：

即使两个分布的支撑集没有重叠或者重叠非常少，仍然能反映两个分布的远近。而JS散度在此情况下是常量，KL散度可能无意义。

转载自：
《KL散度、JS散度、Wasserstein距离》