关于KMP算法中next函数的详细解析

之前看到数据结构中字符串的模式匹配时，花了半天的时间，才把KMP算法中的next函数整明白了，结果过了几天在看到这时，只记得next[j+1]=next[j]+1，可是有时候能套公式正确算出，有时候就算不对，所以今天再重新理一遍思路，顺便记录下来，防止哪天脑子再短路了，又不知道怎么求解的了。

        先看看next数据值的求解方法

  位序       1   2   3   4   5   6   7   8   9   
模式串     a   b   a   a   b   c   a   b   c   
 next值     0   1   1   2   2   3   1   2   3   

next数组的求解方法是：
1.第一位的next值为0
2.第二位的next值为1
后面求解每一位的next值时，根据前一位进行比较
3.第三位的next值：第二位的模式串为b ,对应的next值为1;将第二位的模式串b与第一位的模式串a进行比较，不相等；则第三位的next值为1(其他情况均为1)
4.第四位的next值：第三位的模式串为a ,对应的next值为1;将第三位的模式串a与第一位的模式串a进行比较，相同，则第四位的next值得为1+1=2
5.第五位的next值：第四位的模式串为a，对应的next值为2;将第四位的模式串a与第二位的模式串b进行比较，不相等；第二位的b对应的next值为1,则将第四位的模式串a与第一位的模式串a进行比较，相同，则第五位的next的值为1+1=2
6.第六位的next值：第五位的模式串为b，对应的next值为2;将第五位的模式串b与第二位的模式中b进行比较，相同，则第六位的next值为2+1=3
7.第七位的next值：第六位的模式串为c，对应的next值为3;将第六位的模式串c与第三位的模式串a进行比较，不相等；第三位的a对应的next值为1，
则将第六位的模式串c与第一位的模式串a进行比较，不相同，则第七位的next值为1(其他情况)
8.第八位的next值：第七位的模式串为a，对应的next值为1;将第七位的模式串a与第一位的模式串a进行比较，相同，则第八位的next值为1+1=2
9.第八位的next值：第八位的模式串为b，对应的next值为2;将第八位的模式串b与第二位的模式串b进行比较，相同，则第九位的next值为2+1=3
如果位数更多，依次类推


KMP算法的关键在于求算next[]数组的值，即求算模式串每个位置处的最长后缀与前缀相同的长度，下面按照递推的思想总结一下求解next[]数组：

   根据定义next[1]=0，假设next[j]=k, 即P[1...k-1]==P[j-k,j-1]

   1)若P[j]==P[k]，则有P[1..k]==P[j-k,j]，很显然，如果next[j]=k; 则next[j+1]=next[j]+1=k+1;否则next[j+1]=k+1!=next[j]+1;（当初就想着记公式简单可以直接套用呢，结果只记住next[j+1]=next[j]+1以至于后来迷糊了）
   2)若P[j]!=P[k]，则可以把其看做模式匹配的问题，即匹配失败的时候，k值如何移动，显然k=next[k]。

   因此可以这样去实现：

 void getNext(char *p,int *next)
 {
     int j,k;
     next[1]=0;
     j=1;
     k=0;
     while(j
     {
         if(k==0||p[j]==p[k])    //匹配的情况下,p[j]==p[k]，next[j+1]=k+1;
         {
             j++;
             k++;
             next[j]=k;
         }
         else                   //p[j]!=p[k]，k=next[k]
             k=next[k];
     }
 }

KMP模式匹配算法改进：

       后来有人发现其实KMP算法还是有缺陷的，比如主串S=“aaaabcde”，子串T=“aaaaag”，其next数组为012345；当i=5 ，j=5是“b”与“a”不匹配，此时j=next[5]=4，又发现j=4时，“b”与“a”不匹配，依次类推，直到j=next[1]=0;此时i++，j++，i=6，j=1从而我们发现中间有多余的判断，由于子串T中第2、3、4、5位置的字符都与首位的“a”相同，即可以用首位next[1]的值去取代与它字符相等的后续next[j]的值，即next数组改为000005，此时由i=5，j=5时“b”与“a”不匹配，此时j=next[5]=0；此时i++，j++得到i=6，j=1，即可省去中间的多余判断。因此我们需要改进next函数的求解方法。

 /* 求模式串T的next函数修正值并存入数组nextval */
 void get_nextval(String T, int *nextval)
 {
     int i,j;
     i=1;
     j=0;
     nextval[1]=0;
     while (i/* 此处T[0]表示串T的长度 */
     {
         if(j==0 || T[i]== T[j])     /* T[i]表示后缀的单个字符，T[j]表示前缀的单个字符 */
     {
                 ++i;
                 ++j;
         if (T[i]!=T[j])      /* 若当前字符与前缀字符不同 */
                 nextval[i] = j; /* 则当前的j为nextval在i位置的值 */
             else
             nextval[i] = nextval[j];    /* 如果与前缀字符相同，则将前缀字符的 */
                             /* nextval值赋值给nextval在i位置的值 */
         }
     else
         j= nextval[j];          /* 若字符不相同，则j值回溯 */
     }
 }