深度学习之径向基函数神经网络RBFNN

 

径向基函数（Radial Basis Function）神经网络是具有唯一最佳逼近（克服局部极小值问题）、训练简洁、学习收敛速度快等良好性能的前馈型神经网络，目前已证明RBFNN能够以任意精度逼近任意连续的非线性网络，被广泛用于函数逼近、语音识别、模式识别、图像处理、自动控制和故障诊断等领域。

全局逼近网络：网络的一个或多个权值对任一输出都有影响。由于每次输入都要对所有权值进行修正，因此这种网络的学习速度很慢，无法满足实时性要求，如DNN（MLP）。

局部逼近网络：对于输入空间的某局部区域只有少数几个连接权影响输出，有可能满足实时性要求，如RBFNN。

 

一、RBFNN结构

RBFNN包含3层结构，即只有一个隐藏层：

1、输入层是由N个感知单元组成，表示信源节点输入；

        输入层仅起到输入数据的作用，输入层和隐藏层之间的连接权值为1。

2、隐藏层含有M个径向基神经元（激活函数为RBF），将低维非线性可分的输入映射到高维线性可分的空间；

        隐藏层节点的激活函数对输入局部响应，当输入靠近基函数中央范围时，隐藏层节点将产生较大的输出；

        远离中心点时，输出将呈指数衰减。

3、输出层含有P个线性神经元（激活函数为线性函数），最终的输出是隐藏层神经元输出的线性加权和。

       

 

二、RBFNN原理

径向基函数RBF是中心点径向对称、取值仅依赖于距中心点距离的非负实值函数，常用的RBF使用欧氏距离及高斯函数，令μi为隐藏层第i个节点的高斯函数中心点，σi为第i个节点的宽度参数/方差：

       

RBF的基本思想是将低维线性不可分的数据映射到高维空间，使其在高维空间线性可分。就像SVM中只需要找到代表数据的支持向量一样，RBF也只需要找到能够代表数据的中心点即可。与传统DNN的BP算法不同之处是，RBF网络不用对全局连接权值进行训练，只对一些重要的影响输出的权重进行调整，提高了训练速度，因此该函数也称局部响应函数。

RBFNN需要选择M个隐藏层基函数，输入向量与中心点之间的距离||x-μ||越小则网络的输出就越大。中心点矩阵的大小为隐层神经元数M*输入层神经元数N，每个μi对应的σi使得不同的输入信息能被不同的隐层神经元最大程度的反映出来。

最终的输出为：

       

 

RBFNN的优缺点

优点：非线性拟合能力强，全局最优逼近；局部接受特性使得决策时含有距离的概念，学习规则简单、拓扑结构紧凑、结构参数可实现分离学习，收敛速度快，便于计算机实现；稳定性、泛化能力、记忆能力强，具有强大的自学习能力等。

缺点：解释性差，数据不充分时无法工作，难以确定隐藏层节点数、节点中心和宽度，优选过程出现数据病态现象等。

 

三、RBFNN分类

        1、正则化RBFNN（RN）

正则化RBFNN的隐藏层节点个数等于输入样本数M=N，隐节点激活函数为高斯形式的Green函数，并将所有输入样本设为径向基函数的中心点，各个径向基函数采取统一的方差：

       

       

               

其中 是中心点之间的最大距离，M是中心点个数。

由于易受噪声影响，且可能是超定问题，需要加入一个含有解的先验知识的约束来控制映射函数的光滑性：

       

其中λ为正则化参数，D为线性微分算子，代表对F(x)的先验知识。确定隐藏层神经元的中心位置后，只需要解线性方程组得到W的解析解即可确定该RBFNN模型：

       

这种方法适用于一些样本量小的问题，特点是计算量小、过程简单，易受噪声影响、可能是超定问题，需要加入正则项。

 

        2、广义RBFNN（GN）

使用径向基函数作为隐节点的基函数，对输入向量进行变换，从输入层到隐藏层相当于把低维空间的数据映射的到高维空间。输入层节点个数为样本的维度，隐藏层节点个数多于输入层节点个数，但一定比样本总个数少得多，因此减小了计算量且避免了病态数据的问题。

样本维数N < 隐层节点个数M < 样本总个数

 

        两种模型的比较

RN	GN
隐节点=输入样本总数	隐节点<输入样本总数
中心点为所有输入样本点的位置	中心点由训练算法确定
方差统一	方差不统一，由训练算法确定
不设置阈值	输出函数的线性变换中包含阈值参数，用于补偿基函数在样本集上的平均值与目标值平均值之间的差值

 

四、RBFNN训练

RBFNN的设计包括结构设计和参数设计，即隐藏层需要几个节点（RN中M=N），确定基函数参数、，使用BP算法求解隐藏层与输出层之间的权值。RBFNN常用的中心选择方法有：随机中心选取法、自组织学习选取中心法和正交最小二乘法等。

        1、随机中心选取法

一般在样本密集的地方可以适当多选择一些样本作为中心点，在稀疏的地方适当少些；若数据本身是均匀分布的，则中心点也可以均匀分布，总之选出的数据中心点应具有代表性。为了避免每个径向基函数太尖锐或者太平坦，可以将方差设为。

 

        2、自组织学习中心选取法

这种方法由无监督和监督学习两个阶段混合组成，无监督学习阶段用K-means聚类算法确定RBF的中心，并根据各中心点之间的距离来确定隐节点的方差；监督学习阶段一般采用梯度下降法得到输出层的权值。除了以上2种算法外，还有RAN、RANEKF、MRAN、GIRAN等算法。

 

选择M个不同的向量作为初始聚簇中心，计算输入各样本与聚簇中心的欧式距离，设定阈值根据距离对样本进行归类，从而将全部样本划分为M个子集，每个子集构成一个以聚簇中心为代表的簇。

对各簇中样本取均值，或者采用竞争学习规则调整聚簇中心，直到聚簇中心的调整小于阈值为止。

确定了中心点后，可根据中心点之间的距离计算方差，λ为重叠系数：

       

       

       

 

        3、梯度下降法

使用监督学习算法训练得到RBF中心、方差及输出权值，同BP算法一样经历误差修正的学习过程，忽略阈值定义目标函数为：

       

       

为了使目标函数最小化，各个参数的修正量应与其负梯度成正比。

       

       

       

 

        4、正交最小二乘法OLS

Orthogonal Least Square的思想来源于加权线性回归模型，输出Y是隐节点某种响应参数（回归算子：隐节点的输出）和隐藏层与输出层之间连接权重的线性组合： 。所有隐节点的回归算子构成回归向量P，学习的过程主要是回归向量正交化的过程。

OLS方法要求把P变换为一个关于正交基向量表示的矩阵，使得P可以表示出各个基向量对输出的贡献大小，对P做QR分解：

       

其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵，主对角线元素为1，对角线下方元素为0。

令 为新的回归参数向量，求得G后就可得到W的解析解 。

 

 

参考资料

https://wenku.baidu.com/view/4ff58194770bf78a64295444.html

https://wenku.baidu.com/view/cacd800d4a7302768e99393f.html

https://blog.csdn.net/ecnu18918079120/article/details/53365341

https://blog.csdn.net/weiwei9363/article/details/72808496

https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/13297881