计算不可压缩流体- NS方程求解算法

在上一篇介绍差分格式可以看到求解不可压缩NS方程，主要是求解速度的动量方程和压力的波松方程。本文介绍一些历史中的算法，下一文介绍目前常用的算法。

一  Marker and Celler （MAC) 算法

在自然差分格式中给出PPE如下：    laplace ( p) = laplace ( body_force) - rho * div ( u * grad_u)    （1） 。  该方程不保证 div_ u = 0 条件。

MAC 将PPE方程如下定义：  laplace(p) =  miu * laplace( Div) -  (du^2/dxx + duv/dxy + dvu/dyx + dv^2/dyy) - dD/dt  (2)， 即Div 项不直接扔掉，特别是  dD/dt项。

离散（2）式并令 (n+1) 时步的 Div = 0 （保证div _u = 0 条件），得到 (n+1)时步的压力场；将该压力值带入上一篇介绍的半隐式离散动量方程， 采用forward Euler时间离散求解(n+1)时步的速度场。

边界处理同自然差分格式。

二  SOLA算法

MAC每步都要计算PPE，代价大。考虑 压力-速度耦合，且 速度满足不可压缩条件（div_ u = 0)， 那么存在隐函数  Div(P)  = 0.   构造不动点迭代（牛顿迭代）如下：

p^(m+1) = p^(m) -  D/ D'(p)   % p^(m) 表示第m迭代步的压力值。

其中 D‘(p) =  dD/dp 构造怎么构造呢？  还是从 半隐式离散动量方程入手： 对方程取散度，并令  div_ u ^ (n) = 0 %即n时步的速度满足不可压缩条件, 在对p求导。

 du^(n+1) / dp = 2k/ h/ h;  dv^(n+1) / dp = 2k / h/ h;   (k  = dt,  h = grid spacing)

故 D' = 4k/ h/ h。 亦即压力迭代格式  p^(m+1) = p ^(m) - 4k D_ij /h /h   (3)

由于动量方程显式离散，所以迭代过程压力变化多少，对应速度变化多少。即 n+1 时步 

u_(i,j) ^(m+1) = u_(i,j) ^(m) + k/h * dp

v_(i,j) ^(m+1) =v_(i,j) ^(m) + k/h * dp

为满足单元边界通量守恒，同时更新n+1时步的 u_(i-1,j ) , v(i, j-1):

u_(i -1 ,j) ^(m+1) = u_(i-1,j) ^(m) - k/h * dp

v_(i,j -1 ) ^(m+1) = v_(i,j-1) ^(m) - k/h * dp

注意这里变化是负号了。

 带入上面四式到FV离散的散度项，即  D^(m) = D^(m+1) -  4k * dp/ h/ h

令Div^(m+1) = 0 -->  dp = - 4k D_Ij/ h / h (4)

(3) = (4)

三  人工可压缩性

在div_u = 0 方程中加上 drho/dt, 求解至稳态，得到 rho, 定义 drho/ dp = delta  % delta压缩系数 --> 压力值

应用较广，诸如SPH等粒子算法中。但是，这个稳态密度对应的压力，其实还是没有物理意义的，因为它跟动量方程里面的压力没半点关系。或者说 delta不是一个动量方程相关的量。所以，经验值了。

下一篇介绍后两者： 投影法  SIMPLE