数据结构导论之树与二叉树

1.概念
树是n(n>=0）个结点的有限集合，一棵树满足以下两个条件：
（1）当n=0时，称为空树；
（2）当n>0时，有且仅有一个称为根的节点，除了根节点外，其余结点为m(m>=0)个互不相交的非空集合，称为根的子树。
叶子：度为0的结点称为叶子或者终端结点。（也就是说没有孩子）
结点的度：树上任一结点所拥有的子树的数目称为该节点的度。
结点的层次：从根开始算起，根的层次为1，其余结点的层次为其双亲的层次+1
树的度：一棵树中所有结点的度的最大值称为该树的度。
树的高度：一棵树中所有结点层次数的最大值称为该树的高度或者深度。
2.二叉树
概念：
n(n>=0)个元素有限集合，该集合或者为空，或者由一个根以及两棵互不相交的左子树和右子树组成，其中左右子树也是二叉树。二叉树的任一结点都有两棵子树（任一可以为空子树），并且这两棵子树之间有次序关系，如果互换了位置，就是不同的二叉树，左子树为左孩子，右孩子同理。

性质：

3.二叉树的存储结构（顺序存储和链式存储）
顺序存储：可以用一维数组表示，二叉树上的结点按某种次序分别存入该数组的各个单元中。完全二叉树的顺序存储如下图所示：

非完全二叉树的顺序存储如下所示：



链式存储：
最常用的是二叉链表和三叉链表

4.树的存储结构：
（1）孩子链表表示法：

带双亲的孩子链表中，双亲的编号为孩子编号-1

（2）孩子兄弟链表表示法：（结构和二叉链表很相似）

（3）双亲表示法：

4.树、森林与二叉树的关系

• 树转换成二叉树（兄弟连接，长兄为父）
  

• 森林转换成二叉树 （兄弟连接，长兄—最左边的结点为父）
  

• 二叉树转换成森林（断开根节点与右孩子的连线，转换成兄弟）
  

5.遍历（树和森林）
（1）先序遍历（DLR):先访问根结点，然后遍历左子树，右子树。顺序为从上到下， 从左到右。
（2）中序遍历（LDR）：先遍历左子树，访问根结点，右子树。顺序为从左到右。
（3）后序遍历（LRD）：先遍历左子树，右子树，访问根结点。顺序为从左到右，只要有孩子的都要先遍历孩子，最后是父母（根结点）。
（4）层次遍历：从二叉树的根结点这一层开始，逐层向下遍历，在每一层按照从左到右的顺序对结点逐个访问。
6.判断树和哈夫曼树
建造哈夫曼树：权值最小的两个数依次构造二叉树，每2个数构造一次，多出一个新结点，所以哈夫曼树中共有2n-1个结点。
哈夫曼编码：从上到下，从左到右，0和1依次编码。