深度学习-深度信念（置信）网络（DBN）-从原理到实现（DeepLearnToolBox）

转自：https://blog.csdn.net/Rainbow0210/article/details/53010694?locationNum=1&fps=1

深度信念网络，DBN，Deep Belief Nets，神经网络的一种。既可以用于非监督学习，类似于一个自编码机；也可以用于监督学习，作为分类器来使用。

从非监督学习来讲，其目的是尽可能地保留原始特征的特点，同时降低特征的维度。从监督学习来讲，其目的在于使得分类错误率尽可能地小。而不论是监督学习还是非监督学习，DBN的本质都是Feature Learning的过程，即如何得到更好的特征表达。

---

作为神经网络，神经元自然是其必不可少的组成部分。DBN由若干层神经元构成，组成元件是受限玻尔兹曼机（RBM）。

首先来了解一下受限玻尔兹曼机（RBM）： 
RBM是一种神经感知器，由一个显层和一个隐层构成，显层与隐层的神经元之间为双向全连接。如下图所示：

在RBM中，任意两个相连的神经元之间有一个权值w表示其连接强度，每个神经元自身有一个偏置系数b（对显层神经元）和c（对隐层神经元）来表示其自身权重。 
这样，就可以用下面函数表示一个RBM的能量： 

E(v,h)=−ΣNvi=1bivi−ΣNhj=1cjhj−ΣNv,Nhi,j=1Wijvihj    (1)E(v,h)=−Σi=1Nvbivi−Σj=1Nhcjhj−Σi,j=1Nv,NhWijvihj    (1)

在一个RBM中，隐层神经元hjhj被激活的概率： 

P(hj|v)=σ(bj+ΣiWi,jxi)    (2)P(hj|v)=σ(bj+ΣiWi,jxi)    (2)

由于是双向连接，显层神经元同样能被隐层神经元激活： 

P(vi|h)=σ(ci+ΣjWi,jhj)    (3)P(vi|h)=σ(ci+ΣjWi,jhj)    (3)

其中，σσ 为 Sigmoid 函数，也可以设定为其他函数。 
值得注意的是，当σσ 为线性函数时，DBN和PCA（主成分分析）是等价的。 
同一层神经元之间具有独立性，所以概率密度亦然满足独立性，故得到下式： 

P(h|v)=ΠNhj=1P(hj|v)    (4)P(h|v)=Πj=1NhP(hj|v)    (4)

 

P(v|h)=ΠNvi=1P(vi|h)    (5)P(v|h)=Πi=1NvP(vi|h)    (5)

 

以上即为受限玻尔兹曼机（RBM）的基本构造。其结构并不复杂。下面来看看它的工作原理： 
当一条数据（如向量xx）赋给显层后，RBM根据（3）式计算出每个隐层神经元被开启的概率P(hj|x)，j=1,2,...,NhP(hj|x)，j=1,2,...,Nh，取一个0-1的随机数μμ作为阈值，大于该阈值的神经元则被激活，否则不被激活，即： 

hj=1,P(hj|x)≥μ；hj=0,P(hj|x)<μhj=1,P(hj|x)≥μ；hj=0,P(hj|x)<μ

由此得到隐层的每个神经元是否被激活。 
给定隐层时，显层的计算方法是一样的。

 

了解工作原理之后就可以看看RBM是如何通过数据学习的了： 
RBM共有五个参数：h、v、b、c、W，其中b、c、W，也就是相应的权重和偏置值，是通过学习得到的。（v是输入向量，h是输出向量） 
对于一条样本数据xx，采用对比散度算法对其进行训练：

• 将xx赋给显层v1v1，利用（2）式计算出隐层中每个神经元被激活的概率P(h1|v1)P(h1|v1)$；
• 从计算的概率分布中采取Gibbs抽样抽取一个样本：

  h1∼P(h1|v1)h1∼P(h1|v1)

• 用h1h1重构显层，即通过隐层反推显层，利用（3）式计算显层中每个神经元被激活的概率P(v2|h1)P(v2|h1)；
• 同样地，从计算得到的概率分布中采取Gibbs抽样抽取一个样本：

  v2∼P(v2|h1)v2∼P(v2|h1)

• 通过v2v2再次计算隐层中每个神经元被激活的概率，得到概率分布P(h2|v2)P(h2|v2)
• 更新权重：

 

W←W+λ(P(h1|v1)v1−P(h2|v2)v2)W←W+λ(P(h1|v1)v1−P(h2|v2)v2)

 

b←b+λ(v1−v2)b←b+λ(v1−v2)

 

c←c+λ(h1−h2)c←c+λ(h1−h2)

若干次训练后，隐层不仅能较为精准地显示显层的特征，同时还能够还原显层。当隐层神经元数量小于显层时，则会产生一种“数据压缩”的效果，也就类似于自动编码器。

 

深度置信网络（DBN）： 
将若干个RBM“串联”起来则构成了一个DBN，其中，上一个RBM的隐层即为下一个RBM的显层，上一个RBM的输出即为下一个RBM的输入。训练过程中，需要充分训练上一层的RBM后才能训练当前层的RBM，直至最后一层。

很多的情况下，DBN是作为无监督学习框架来使用的，并且在语音识别中取得了很好的效果。

若想将DBM改为监督学习，方式有很多，比如在每个RBM中加上表示类别的神经元，在最后一层加上softmax分类器。也可以将DBM训出的W看作是NN的pre-train，即在此基础上通过BP算法进行fine-tune。实际上，前向的算法即为原始的DBN算法，后项的更新算法则为BP算法，这里，BP算法可以是最原始的BP算法，也可以是自己设计的BP算法。

DBN的实现（DeepLeranToolBox）： 
这里是将DBN作为无监督学习框架来使用的，将“学习成果”赋给ANN来完成分类。

训练集是60000张28*28的手写数字图片，测试集是10000张28*28的手写数字图片，对应的单幅图片的特征维度为28*28=784

% function test_example_DBN
load mnist_uint8;

train_x = double(train_x) / 255;
test_x  = double(test_x)  / 255;
train_y = double(train_y);
test_y  = double(test_y);

%%  ex2 train a 100-100 hidden unit DBN and use its weights to initialize a NN
rand('state',0)
%train dbn
%对DBN的初始化
%除了输入层之外有两层，每层100个神经元，即为两个受限玻尔兹曼机
dbn.sizes = [100 100];
%训练次数
opts.numepochs =   2;
%每次随机的样本数量
opts.batchsize = 100;
%更新方向，目前不知道有什么用
opts.momentum  =   0;
%学习速率
opts.alpha     =   1;
%建立DBN
dbn = dbnsetup(dbn, train_x, opts);
%训练DBN
dbn = dbntrain(dbn, train_x, opts);
%至此，已完成了DBN的训练

%unfold dbn to nn
%将DBN训练得到的数据转化为NN的形式
nn = dbnunfoldtonn(dbn, 10);

%设置NN的阈值函数为Sigmoid函数
nn.activation_function = 'sigm';

%train nn
%训练NN
opts.numepochs =  3;
opts.batchsize = 100;
nn = nntrain(nn, train_x, train_y, opts);
[er, bad] = nntest(nn, test_x, test_y);

assert(er < 0.10, 'Too big error');

function dbn = dbnsetup(dbn, x, opts)
    %n是单个样本的特征维度，784
    n = size(x, 2);
    %dbn.sizes是rbm的维度，[784 100 100]
    dbn.sizes = [n, dbn.sizes];

    %numel(dbn.sizes)返回dbn.sizes中的元素个数，对于[784 100 100]，则为3
    %初始化每个rbm
    for u = 1 : numel(dbn.sizes) - 1
        %初始化rbm的学习速率
        dbn.rbm{u}.alpha    = opts.alpha;
        %学习方向
        dbn.rbm{u}.momentum = opts.momentum;
        %第一个rbm是784-100， 第二个rbm是100-100
        %对应的连接权重，初始值全为0
        dbn.rbm{u}.W  = zeros(dbn.sizes(u + 1), dbn.sizes(u));
        %用于更新的权重，下同，不再注释
        dbn.rbm{u}.vW = zeros(dbn.sizes(u + 1), dbn.sizes(u));
        %第一个rbm是784，第二个rbm是100
        %显层的偏置值，初始值全为0
        dbn.rbm{u}.b  = zeros(dbn.sizes(u), 1);
        dbn.rbm{u}.vb = zeros(dbn.sizes(u), 1);
        %第一个rbm是100，第二个rbm是100
        %隐层的偏置值，初始值全为0
        dbn.rbm{u}.c  = zeros(dbn.sizes(u + 1), 1);
        dbn.rbm{u}.vc = zeros(dbn.sizes(u + 1), 1);
    end
end

function dbn = dbntrain(dbn, x, opts)
    % n = 1;
    % x = train_x，60000个样本，每个维度为784，即60000*784
    %n为dbn中有几个rbm，这里n=2
    n = numel(dbn.rbm);
    %充分训练第一个rbm
    dbn.rbm{1} = rbmtrain(dbn.rbm{1}, x, opts);
    %通过第一个rbm，依次训练后续的rbm
    for i = 2 : n
        %建立rbm
        x = rbmup(dbn.rbm{i - 1}, x);
        %训练rbm
        dbn.rbm{i} = rbmtrain(dbn.rbm{i}, x, opts);
    end

end

function x = rbmup(rbm, x)
    %sigm为sigmoid函数
    %通过隐层计算下一层
    x = sigm(repmat(rbm.c', size(x, 1), 1) + x * rbm.W');
end

function rbm = rbmtrain(rbm, x, opts)
    %矩阵x中的元素必须是浮点数，且取值为[0,1]
    assert(isfloat(x), 'x must be a float');
    assert(all(x(:)>=0) && all(x(:)<=1), 'all data in x must be in [0:1]');

    %m为样本数量，这里m = 60000
    m = size(x, 1);
    %训练批次，每一批是opts.batchsize个样本，注意这里opts.batchsize必须整除m
    numbatches = m / opts.batchsize;

    %opts.batchsize必须能整除m
    assert(rem(numbatches, 1) == 0, 'numbatches not integer');

    %opts.numepochs，训练次数
    for i = 1 : opts.numepochs

        %随机打乱1-m的数，也就是1-m的随机数，kk是1-m的随机数向量
        kk = randperm(m);

        %训练结果的eer
        err = 0;

        %对每一批数据进行训练
        for l = 1 : numbatches
            %取出opts.batchsize个待训练的样本
            %循环结束后所有样本都进行过训练，且仅训练了一次
            batch = x(kk((l - 1) * opts.batchsize + 1 : l * opts.batchsize), :);

            %赋值给v1
            %这里v1是100*784的矩阵
            v1 = batch;
            %通过v1计算h1的概率，吉布斯抽样
            h1 = sigmrnd(repmat(rbm.c', opts.batchsize, 1) + v1 * rbm.W');
            %通过h1计算v1的概率，吉布斯抽样
            v2 = sigmrnd(repmat(rbm.b', opts.batchsize, 1) + h1 * rbm.W);
            %通过v2计算h2的概率，吉布斯抽样
            h2 = sigm(repmat(rbm.c', opts.batchsize, 1) + v2 * rbm.W');

            %至此，h1,v1,h2,v2均已计算出来，即完成了对比散度算法的大半，只剩下相应权重的更新

            %权重更新的差值计算
            c1 = h1' * v1;
            c2 = h2' * v2;

            rbm.vW = rbm.momentum * rbm.vW + rbm.alpha * (c1 - c2)     / opts.batchsize;
            rbm.vb = rbm.momentum * rbm.vb + rbm.alpha * sum(v1 - v2)' / opts.batchsize;
            rbm.vc = rbm.momentum * rbm.vc + rbm.alpha * sum(h1 - h2)' / opts.batchsize;

            %更新权重
            rbm.W = rbm.W + rbm.vW;
            rbm.b = rbm.b + rbm.vb;
            rbm.c = rbm.c + rbm.vc;

            %计算err
            err = err + sum(sum((v1 - v2) .^ 2)) / opts.batchsize;
        end
        %打印结果
        disp(['epoch ' num2str(i) '/' num2str(opts.numepochs)  '. Average reconstruction error is: ' num2str(err / numbatches)]);

    end
end

对于手写数字的识别结果还是很好的，即便是最简单的DBN+NN（如上参数设置），也可以达到95%的正确率。