曲面上的微积分（二）

曲面上的微积分（二）

从上一次讨论结束，回去之后，我花了一点时间走了一遍证明。心中依然遗留了两个问题。

对于Laplace-Beltrami方程的弱形式，
$${\int }_{\gamma }\tilde{\phi }{\Delta }_{\gamma }\tilde{v}=-{\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }\tilde{\phi }\cdot {\nabla }_{\gamma }\tilde{v}$$
我们要求这里的$\tilde{\varphi }$是$C^1$且具有紧支集的。也就是说在迹的意义下，它在边界上是等于零的。
$\forall v\in H_{\#}^1(\gamma )$，满足这个条件吗？

另一个问题是，$r_k>2$
$$\Vert u{\Vert }_{W_{r_k}^2}(z)\lesssim \Vert \ell {\Vert }_{L_{r_k}}(z)$$
是否意味着$r_k=2$的时候，这个依然成立。

曲率

接下来，让我们来谈一谈和曲率相关的东西。下面我们总是假定$\gamma$是$C^2$的。

首先，定义曲线的附近区域为
$$\begin{array}{lll}\text{ (29) }& \mathcal{N}(\delta )& :=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}:|d(\mathbf{x})|<\delta \right\}\end{array}$$

形状算子$\mathbf{W}(\mathbf{x})$有一个零特征值，对应的特征向量为法向量。剩余的特征值我们称它们为主曲率，用${\kappa }_i(\mathbf{x})$来表示。那么我们可以定义最大曲率：
$$\begin{array}{cc}(30)& K(\mathbf{x}):={\max }_{1\le i\le n}\left|{\kappa }_i(\mathbf{x})\right|\forall \mathbf{x}\in \gamma ;K_{\infty }:=\Vert K{\Vert }_{L\infty (\gamma )}\end{array}$$
我们设置
$$(31)\mathcal{N}:=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}:\mathrm{dist}(\mathbf{x},\gamma )<\frac{1}{2K_{\infty }}\right\}=\mathcal{N}\left(K_{\infty }/2\right)$$
综述，这个表达里面有个错误，最后应该写为$\mathcal{N}\left(1/(2K_{\infty })\right)$，我说得对吧。

下面陈述一个引理，关于平行曲面的曲率。${\gamma }_{ϵ}$是$\gamma$的平行曲面，数学上定义为：
$${\gamma }_{ϵ}:=\{\mathbf{x}\in \mathcal{N}:d(\mathbf{x})=\epsilon \}$$
那么，我们有这个一个关系：
$$\begin{array}{lll}\text{ (32) }& {\kappa }_i(\mathbf{x})=\frac{{\kappa }_i\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)}{1+\epsilon {\kappa }_i\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)}& \forall \mathbf{x}\in {\gamma }_{\epsilon }\end{array}$$
并且，他们的特征向量也是相对应的。
我们简单做一个证明，因为梯度关系
$$\nabla d(\mathbf{x})=\nabla d\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)=\nabla d(\mathbf{x}-d(\mathbf{x})\nabla d(\mathbf{x}))\forall \mathbf{x}\in \mathcal{N}$$
求导，使用链式法则和乘积的导数规则，可得
$$D^{2}d(\mathbf{x})=D^{2}d\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)\left(\mathbf{I}-\nabla d(\mathbf{x})\otimes \nabla d(\mathbf{x})-d(\mathbf{x})D^{2}d(\mathbf{x})\right)$$
做一些项的移动，我们可以得到
$$\left(\mathbf{I}+d(\mathbf{x})D^{2}d\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)\right)D^{2}d(\mathbf{x})=D^{2}d\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)(\mathbf{I}-\nabla d(\mathbf{x})\otimes \nabla d(\mathbf{x}))=D^{2}d\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)$$
另一方面，
$${\kappa }_i\left(\mathbf{I}+\epsilon D^{2}d\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)\right)=1+\epsilon {\kappa }_i\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)\ge \frac{1}{2}$$
告诉我们，$\mathbf{I}+\epsilon D^{2}d\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)$是非奇异的。那么，我们有
$$\mathbf{W}(\mathbf{x})={\left(\mathbf{I}+\epsilon \mathbf{W}\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)\right)}^{-1}\mathbf{W}\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)$$
根据这个以及一些数值线性代数的知识，我们容易得到结论。

下面介绍第二个引理，第二基本型。
曲面的第二基本型$\mathbf{h}={\left(h_{ij}\right)}_{i,j=1}^n$定义为：
$h_{ij}(\mathbf{y}):=-{\partial }_i\mathbf{\nu }(\mathbf{y})\cdot {\partial }_j\chi (\mathbf{y})=\mathbf{\nu }(\mathbf{y})\cdot {\partial }_{ij}\mathbf{\chi }(\mathbf{y})\forall \mathbf{y}\in \mathcal{V}$
第二个偏导是$j$不是$i$，综述上有些小错误。第二个等号是因为$\nu \cdot {\partial }_j\chi =0$，求导即可。

引理描述如下，如果
$$\mathbf{s}=-{\mathbf{h}\mathbf{g}}^{-1}$$
那么$\mathbf{s}$的特征值就是$\gamma$的主曲率。
简单的证明如下，
$${\partial }_i\nu (\mathbf{y})=D_{\gamma }\nu (\mathbf{x}){\partial }_i\chi (\mathbf{y})=\sum _{k=1}^n{s}_{ik}(\mathbf{y}){\partial }_k\chi (\mathbf{y})\forall \mathbf{y}\in \mathcal{V}$$
两边同乘以${\partial }_j\chi (\mathbf{y})$可得，
$$h_{ij}(\mathbf{y})=-{\partial }_i\nu (\mathbf{y})\cdot {\partial }_j\chi (\mathbf{y})=-\sum _{k=1}^n{s}_{ik}{\partial }_k\chi (\mathbf{y})\cdot {\partial }_j\chi (\mathbf{y})=-\sum _{k=1}^n{s}_{ik}{g}_{kj}$$
这就是$\mathbf{h}=-\mathbf{s}\mathbf{g}$。在综述中，它缺失了一些负号。现在的问题仔仔的问题在于，是否$\mathbf{s}$和$D_{\gamma }\nu$有除零之外相同的特征值？将上述的表达，写成矩阵，我们有
$$\mathbf{s}D{\chi }^T=D{\chi }^T{D}_{\gamma }\nu$$
有数值线性代数的知识，我们知道他俩有相同的特征值。

曲面正则性和距离函数的性质

我们之前讨论的所有，总是假设$\gamma$是$C^2$的，并且总是假设在以下的区域考虑最近点投影：
$$\mathcal{N}:=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}:\mathrm{dist}(\mathbf{x},\gamma )<\frac{1}{2K_{\infty }}\right\}=\mathcal{N}\left(1/(2K_{\infty })\right)$$
那么正则性更差的曲面怎么办呢？为了解释清楚事情，我们需要一些引理。

简单地说，$k\ge 2$，$\gamma$是$C^k$，$d$是$C^k$，最近点投影算子${\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})$是$C^{k-1}$的于$\mathcal{N}(1/K_{\infty })$。

那么$k=1$呢？首先，我们给出两个定义。
$$\mathrm{reach}(\gamma ):=\sup \left\{\delta \ge 0:\text{ all }\mathbf{x}\in \mathcal{N}(\delta )\text{ have a unique closest point }{\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\in \gamma \right\}$$
$$U(\gamma ):=\left\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^{n+1}:\mathbf{x}\text{ has a unique closest point in }\gamma \right\}$$
那么，我们有如下引理：

也就是说$d$在$\mathbf{x}$是可微的，那么在$\mathbf{x}$以内点的投影就是唯一的。

下面定义一些常量。最近法向分割：
$$S(\mathbf{x},\rho ):=[\mathbf{x}-\rho \mathbf{\nu }(\mathbf{x}),\mathbf{x}+\rho \mathbf{\nu }(\mathbf{x})]$$
定义一些$r_0$，
$$\begin{array}{l}\frac{1}{r_0}:={\sup }_{\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathcal{Y},\mathbf{x}\ne \mathbf{y}}\frac{|\mathbf{\nu }(\mathbf{x})-\mathbf{\nu }(\mathbf{y})|}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|}\\ \frac{1}{r_0^{\prime }}:=\sup \{\rho \ge 0:S(\mathbf{x},\rho )\cap S(\mathbf{y},\rho )=\varnothing \forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in \gamma ,\mathbf{x}\ne \mathbf{y}\}\\ \frac{1}{r_0^{\prime \prime }}:=\sup \{\rho \ge 0:\overline{B_{\rho }(\mathbf{x}\pm \rho \mathbf{\nu }(\mathbf{x}))}\text{ contain respectively no points }\\ \text{ interior or exterior to }\gamma \text{ for all }\mathbf{x}\in \gamma \}\\ \frac{1}{{\mathrm{r}}^{\prime \prime \prime }}:={\sup }_{\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathcal{Y},\mathbf{x}\ne \mathbf{y}}\frac{|2(\mathbf{y}-\mathbf{x})\cdot \mathbf{\nu }(\mathbf{x})|}{|\mathbf{y}-\mathbf{x}{|}^2}\end{array}$$
这里，$r_0^{\prime \prime \prime }=\mathrm{reach}(\gamma )$。
我们有如下引理：

和这样一个定理：

换言之，$\mathrm{reach}>0$，$C^1$曲面就是$C^{1,1}$。

曲面上的散度定理

我们考虑在具有边界的曲面上的散度定理。

Proposition 12 (divergence theorem). Let $\gamma$ be a compact, oriented surface of class $C^2$ with Lipschitz boundary $\partial \gamma$ . Let $H={\sum }_{i=1}^n{\kappa }_i$ be the total curvature of $\gamma$ and $\mu$ be the unit outward normal to $\partial \gamma$ lying in the tangent hyperplane to $\gamma .$ If $\tilde{v}:\gamma \to \mathbb{R}\in H^1(\gamma ),$ then
$${\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }\tilde{v}={\int }_{\gamma }\tilde{v}H\nu +{\int }_{\partial \gamma }\tilde{v}\mu$$

我们简单地证明一下，给定$0<\epsilon <\frac{1}{2K_{\infty }}$，定义
$${\Omega }_{\epsilon }:=\{\mathbf{z}=\mathbf{x}+\rho \mathbf{\nu }(\mathbf{x}):\mathbf{x}\in \gamma ,|\rho |<\epsilon \}$$
以及
$${\gamma }_{\pm \epsilon }:=\{\mathbf{x}\pm \epsilon \mathbf{\nu }(\mathbf{x}):\mathbf{x}\in \gamma \},{\lambda }_{\epsilon }:=\partial {\Omega }_{\epsilon }\backslash \left({\gamma }_{\epsilon }\cup {\gamma }_{-\epsilon }\right)$$
$v$是$\tilde{v}$的$C^1$扩张，在区域内使用散度定理，可以得到
$${\int }_{{\Omega }_{ϵ}}\nabla v={\int }_{\partial {\Omega }_{\epsilon }}v{\mathbf{\nu }}_{\epsilon }={\int }_{{\gamma }_{\epsilon }}v\mathbf{\nu }\circ {\mathbf{P}}_d-{\int }_{{\gamma }_{-\epsilon }}v\mathbf{\nu }\circ {\mathbf{P}}_d+{\int }_{{\lambda }_{\epsilon }}v\mathbf{\mu }\circ {\mathbf{P}}_d$$
这里的${\mathbf{\nu }}_{\epsilon }$是$\partial {\Omega }_{\epsilon }$的单位外法向量。两边除以$2ϵ$。
左边那一项，根据（27）式，趋近于
$$\frac{1}{2\epsilon }{\int }_{{\Omega }_{\epsilon }}\nabla v=\frac{1}{2\epsilon }{\int }_{{\Omega }_{\epsilon }}\left(\mathbf{I}-d(\mathbf{x})D^{2}d(\mathbf{x})\right){\nabla }_{\gamma }\tilde{v}\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)d\mathbf{x}\underset{\epsilon \to 0}{=\to 0}{\int }_{\gamma }{\nabla }_{\gamma }\tilde{v}$$
相似地，右边的最后一项
$$\frac{1}{2\epsilon }{\int }_{{\lambda }_{\epsilon }}v\mathbf{\mu }\circ {\mathbf{P}}_d⟶{\int }_{\partial \gamma }\tilde{v}\mathbf{\mu }$$
之后，我们考虑
$$\begin{array}{rl}\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{1}{2\epsilon }({\int }_{{\gamma }_{\epsilon }}v\nu \circ {\mathbf{P}}_d& -{\int }_{{\gamma }_{-\epsilon }}v\mathbf{\nu }\circ {\mathbf{P}}_d)={\frac{d}{d\rho }{\int }_{{\gamma }_{\rho }}v\nabla d|}_{\rho =0}\\ & ={\frac{d}{d\rho }{\int }_{\mathcal{V}}v(\mathbf{x})\nabla d(\mathbf{x}+\rho \nabla d(\mathbf{x}))q_{\rho }(\mathbf{y})d\mathbf{y}|}_{\rho =0}\end{array}$$
考虑到$\frac{d}{d\rho }\nabla d(\mathbf{x}+\rho \nabla d(\mathbf{x}))=D^{2}d(\mathbf{x}+\rho \nabla d(\mathbf{x}))\nabla d(\mathbf{x})=0$，只需要估计$\frac{d}{d\rho }{q}_{\rho }$。
使用面积元之间的关系：
$$\frac{q(\mathbf{y})}{q_{\Gamma }(\mathbf{y})}=\det (\mathbf{I}-d(\mathbf{x})\mathbf{W}(\mathbf{x}))\left(\mathbf{\nu }(\mathbf{x})\cdot {\mathbf{\nu }}_{\Gamma }(\mathbf{x})\right)\forall \mathbf{x}\in \Gamma$$
我们有：
$$\frac{q_{\rho }(\mathbf{y})}{q(\mathbf{y})}=\frac{1}{\det \left(\mathbf{I}-\rho D^{2}d(\mathbf{x})\right)}=\frac{1}{{\prod }_{i=1}^n\left(1-\rho {\kappa }_i(\mathbf{x})\right)}=\prod _{i=1}^n\left(1+\rho {\kappa }_i\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)\right)$$
最后一个等式是因为前面的引理。所以呢，我们有
$${\frac{d}{d\rho }{q}_{\rho }(\mathbf{y})|}_{\rho =0}=q(\mathbf{y})\sum _{i=1}^n{\kappa }_i\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)=q(\mathbf{y})H\left({\mathbf{P}}_d(\mathbf{x})\right)$$
由此证明了$\tilde{v}$是$C^1$的时候是成立的，因为$C^1$在$H^1$中是稠密的，结论得证。

由上，对于向量函数，我们可以得到：
$${\int }_{\gamma }{\mathrm{div}}_{\gamma }\tilde{\mathbf{v}}={\int }_{\gamma }H\mathbf{v}\cdot \mathbf{\nu }+{\int }_{\partial \gamma }\mathbf{v}\cdot \mathbf{\mu }$$
上式中，令$\mathbf{v}=w{\nabla }_{\gamma }v$，我们有
$${\int }_{\gamma }w{\Delta }_{\gamma }v+{\nabla }_{\gamma }w\cdot {\nabla }_{\gamma }v={\int }_{\partial \gamma }w{\nabla }_{\gamma }v\cdot \mathbf{\mu }$$