牛客网 - [牛客假日团队赛5]随机数(数位dp)

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/984/F/
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64bit IO Format: %lld

题目描述

正如你所知，奶牛们没有手指以至于不能玩“石头剪刀布”来任意地决定例如谁先挤奶的顺序。她们甚至也不能通过仍硬币的方式。
所以她们通过"round number"竞赛的方式。第一头牛选取一个整数，小于20亿。第二头牛也这样选取一个整数。如果这两个数都是 "round numbers"，那么第一头牛获胜，否则第二头牛获胜。
如果一个正整数N的二进制表示中，0的个数大于或等于1的个数，那么N就被称为"round number" 。例如，整数9，二进制表示是1001，1001 有两个'0'和两个'1'; 因此，9是一个round number。26 的二进制表示是 11010 ; 由于它有2个'0'和3个'1'，所以它不是round number。
很明显，奶牛们会花费很大精力去转换进制，从而确定谁是胜者。 Bessie 想要作弊，而且认为只要她能够知道在一个指定区间范围内的"round numbers"个数。
帮助她写一个程序，能够告诉她在一个闭区间中有多少Hround numbers。区间是[start, finish]，包含这两个数。 (1 <= Start < Finish <= 2,000,000,000)

输入描述

Line 1: 两个用空格分开的整数，分别表示Start 和 Finish。

输出描述

Line 1: Start..Finish范围内round numbers的个数。

输入

2 12

输出

6

说明

2     10  1x0 + 1x1  ROUND
3     11  0x0 + 2x1  NOT round
4    100  2x0 + 1x1  ROUND
5    101  1x0 + 2x1  NOT round
6    110  1x0 + 2x1  NOT round
7    111  0x0 + 3x1  NOT round
8   1000  3x0 + 1x1  ROUND
9   1001  2x0 + 2x1  ROUND
10  1010  2x0 + 2x1  ROUND
11  1011  1x0 + 3x1  NOT round
12  1100  2x0 + 2x1  ROUND

解题思路

题意:给定一个区间，寻找区间内二进制表示法中0的个数大于等于1的个数的数的个数。
思路:把给定区间的上限用二进制表示出来，其长度就是二进制表示上限，举个例子吧，1011011001，假定其为区间上限的二进制表示，长度为10，所以说，任何长度小于10的二进制数都没有它大，所以我们就可以从长度为1开始枚举，长度为i=1的只有二进制表示的1，只有一个1，没有0，不满足题意，继续遍历，长度i>=2时要注意，最高位必须是1，所以也就是说最高位是已知的，在剩下的i-1 位中按照排列组合法求满足条件的数的组合数，因为已经有了最高位的1，所以算的时候只要0的个数大于等于1的个数加1。当长度等于上限长度，但是数值小于等于上限数值的数，这个就要挨个遍历寻找了。
组合公式：C[i][j]=C[i-1][j-1]+C[i-1][j];

Accepted Code:

#include 
using namespace std;
const int N = 2e9 + 7;
int m, n;
int dp[50][50], sum[50];
void init() {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i < 50; i++)
        for (int j = 0; j <= i; j++)
            if (!j || i == j)
                dp[i][j] = 1;
            else dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
} 
int solve(int x) {
    if (x <= 1)
        return 0;
    int ans = 0, ans0 = 0, ans1 = 0, len = 0;
    while (x) {
        sum[len++] = x & 1;
        if (x & 1)
            ans1++;
        else ans0++;
        x >>= 1;
    }
    for (int i = len - 1; i > 0; i--) { //从第一位到最高位的次位依次遍历
        if (i & 1)//总数位为奇数  除去最高位的1,就剩下偶数位了
            ans += ((1 << (i - 1)) - dp[i - 1][(i - 1) >> 1]) >> 1; //二进制中0和1个数不想等的数目，总情况减去剩余位中1和0相等的情况，比如i=5，剩下4位中两个0两个1的组合数
        else ans += (1 << (i - 1)) >> 1;//总位数为偶数i，最高位为1,剩下的i-1位的组合数
    }
    if (ans0 >= ans1)//数本身二进制表示也满足条件
        ans++;
    ans0 = 0, ans1 = 1;
    for (int i = len - 2; i >= 0; i--) {
        if (!sum[i])
            ans0++;
        else { //遍历满足条件的插入法
            for (int j = i; j >= 0 && j + ans0 + 1 >= i - j + ans1; j--)
                ans += dp[i][j];
            ans1++;
        }
    }
    return ans;
}
int main() {
    init();
    while (~scanf("%d%d", &m, &n))
        printf("%d\n", solve(n) - solve(m - 1));
    return 0;
}