机器学习算法与Python实践(4) - 缩减方法(岭回归/逐步回归)

这一次的博客其实是接着上一次的，即对上一次博客的补充

首先，我们从缩减说起：

缩减方法

　　当数据的特征数高于样本数，或者特征之间高度相关时，会导致 XTX 奇异，从而限制了LR和LWLR的应用。这时需要考虑使用缩减法。
缩减法，可以理解为对回归系数的大小施加约束后的LR，也可以看作是对一个模型增加偏差（模型预测值与数据之间的差异）的同时减少方差（模型之间的差异）。
　　一种缩减法是岭回归（L2），另一种是lasso法（L1），但由于计算复杂，一般用效果差不多但更容易实现的前向逐步回归法。下面针对这两种方法详细介绍。
注意在使用缩减法时，需要对特征作标准化处理，一般对于输入是，对输出是，使得每维特征具有相同的重要性。

1. 岭回归

岭回归实际上相当于有约束条件情况的最小二乘法回归，即回归系数为。惩罚的引入能够减少不重要的参数，从而更好滴理解数据。参数的选择，需要将原训练数据分成训练数据和测试数据，在训练数据上训练回归系数，然后在测试数据上测试性能，通过选取不同的来重复上述过程，最终选取使得预测误差最小的。

在进行特征选择时，一般有三种方式：

• 子集选择
• 收缩方式(Shrinkage method)，又称为正则化(Regularization)。主要包括岭回归和lasso回归(后面会对此介绍)。
• 维数缩减

岭回归(Ridge Regression)是在平方误差的基础上增加正则项，如下：

通过确定 λ 的值可以使得在方差和偏差之间达到平衡：随着 λ 的增大，模型方差减小而偏差增大。
对 ω 求导，结果为
2XT(Y−XW)−2λW
令其为0，可求得 ω 的值：

关键代码如下：

### Ridge Regression ###
def ridgeRegres(xMat, yMat, lam=0.2):
    xTx = xMat.T * xMat
    denom = xTx + lam*eye(shape(xMat)[1])
    if linalg.det(denom) == 0.0:
        print "This matrix is singular, cannot do inverse"
        return
    ws = denom.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

def ridgeTest(xArr, yArr):
    xMat = mat(xArr)
    xMeans = mean(xMat, 0)
    xVar = var(xMat, 0)
    xMat = (xMat-xMeans) / xVar
    yMat = mat(yArr).T
    yMean = mean(yMat, 0)
    yMat = yMat - yMean
    numTestPts = 30
    wMat = zeros((numTestPts, shape(xMat)[1]))
    for ii in range(numTestPts):
        ws = ridgeRegres(xMat, yMat, exp(ii-10))
        wMat[ii,:] = ws.T
    return wMat

逐步回归

关于逐步回归的部分在上一次已经整理过了，其代码部分放在一起使用即可（读取数据部分通用）

机器学习算法与Python实践(3) - 前向逐步回归