[数值分析]离散数据拟合-最小二乘法

最小二乘法算法

最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

拟合

在实际问题中，常常给定一组测定的离散数据, $x_i,y_i$, 欲求自变量和因变量的近似表达式. 由于测量值本身就带有误差，并且测量数据往往数据量很大，因此使用插值法工作量会很大，效果也往往不好，解决该类问题最常用的方法就是最小二乘法. 下面通过一个简单的例题进行说明．

综上对于给定的拟合数据$x和y$我们只需要构造出他们对应的矩阵，那么我们便可以通过矩阵的逆运算得到系数矩阵$a$

代码

#include
using namespace std;
const int maxn = 100;
double x[maxn][maxn],y[maxn][maxn],maze[maxn][maxn],w[maxn],inv[maxn][maxn];
double yy[maxn],a[maxn];
//按第一行展开计算|A|
double getA(double arcs[maxn][maxn],int n)
{
    if(n==1)
    {
        return arcs[0][0];
    }
    double ans = 0;
    double temp[maxn][maxn]={0.0};
    int i,j,k;
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=0;j<n-1;j++)
        {
            for(k=0;k<n-1;k++)
            {
                temp[j][k] = arcs[j+1][(k>=i)?k+1:k];

            }
        }
        double t = getA(temp,n-1);
        if(i%2==0)
        {
            ans += arcs[0][i]*t;
        }
        else
        {
            ans -=  arcs[0][i]*t;
        }
    }
    return ans;
}
//计算每一行每一列的每个元素所对应的余子式，组成A*
void  getAStart(double arcs[maxn][maxn],int n,double ans[maxn][maxn])
{
    if(n==1)
    {
        ans[0][0] = 1;
        return;
    }
    int i,j,k,t;
    double temp[maxn][maxn];
    for(i=0;i<n;i++)
    {
        for(j=0;j<n;j++)
        {
            for(k=0;k<n-1;k++)
            {
                for(t=0;t<n-1;t++)
                {
                    temp[k][t] = arcs[k>=i?k+1:k][t>=j?t+1:t];
                }
            }


            ans[j][i]  =  getA(temp,n-1);
            if((i+j)%2 == 1)
            {
                ans[j][i] = - ans[j][i];
            }
        }
    }
}
//得到给定矩阵src的逆矩阵保存到des中。
bool GetMatrixInverse(double src[maxn][maxn],int n,double des[maxn][maxn])
{
    double flag=getA(src,n);
    double t[maxn][maxn];
    if(flag==0)
    {
        return false;
    }
    else
    {
        getAStart(src,n,t);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                des[i][j]=t[i][j]/flag;
            }

        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    int m,n;
    // freopen("txt/li4-1.txt","r",stdin);
    // freopen("txt/li4-1_out.txt","w+",stdout);
    //freopen("txt/ti4-1.txt","r",stdin);
    //freopen("txt/ti4-1_out.txt","w+",stdout);
    freopen("txt/li4-2.txt","r",stdin);
    freopen("txt/li4-2_out.txt","w+",stdout);
    while(~scanf("%d",&m)) {
        for(int i=0;i<m;i++) x[i][0] = 1;
        for(int i=0;i<m;i++) y[i][0] = 1;
        for(int i=0;i<m;i++) scanf("%lf",&x[i][1]);
        for(int i=0;i<m;i++) scanf("%lf",&y[i][1]);
        for(int i=0;i<m;i++) scanf("%lf",&w[i]);
        //printf("Weidu :\n");
        scanf("%d",&n);
        for(int i=2;i<2*n-1;i++) {
            for(int j=0;j<m;j++) {
                x[j][i] = x[j][i-1]*x[j][1];
                y[j][i] = y[j][i-1]*y[j][1];
            }
        }
        printf("矩阵 X[][]\n");
        for(int i=0;i<n;i++) {
            for(int j=0;j<n;j++) {
                maze[i][j] = 0;
                for(int k=0;k<m;k++) {
                    maze[i][j] += w[k]*x[k][i+j];
                }
                printf("%.2f ",maze[i][j]);
            }
            printf("\n");
        }
        printf("矩阵 Y[][]\n");
        for(int i=0;i<n;i++) {
            yy[i] = 0;
            for(int j=0;j<m;j++) {
                yy[i] += w[j]*x[j][i]*y[j][1];
            }
            printf("%.2f\n",yy[i]);
        }
        printf("矩阵 X[][]的逆\n");
        if(GetMatrixInverse(maze,n,inv)) {
            for(int i=0;i<n;i++) {
                for(int j=0;j<n;j++) printf("%.2f ",inv[i][j]);
                printf("\n");
            }
        }
        printf("系数矩阵 a[][]\n");
        for(int i=0;i<n;i++) {
            a[i] = 0;
            for(int j=0;j<n;j++) {
                a[i] += inv[i][j] * yy[j];
            }
            printf("%.2f\n",a[i]);
        }
    }
    return 0;
}