动态规划4-最优二叉查找树

前面说过动态规划最典型的就是解决最优化问题的（具有最优子结构的最优化问题），最优二叉查找树就是一个典型的最优化问题。


问题描述：

给定一个n元素的中序序列，它可以有卡特兰数个不同形状的二叉排序树。（卡特兰数的定义及证明参见组合数学）：



，如果我们知道每个键的查找概率，怎么来构造一个平均查找代价最小（查找成功）的最优二叉查找树呢？


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用动态规划来求解，首先要找到它的最优子结构性质，然后根据这个最优子结构来描述和刻画问题，得到状态转移的方程：


1）最优子结构性质：


看看一颗最优二叉查找树是怎么得到的？逆向思维，如果现在有一棵最优二叉查找树，root是ak，很容易得出：ak的左右子

树也是最优二叉查找树（如果它的子树不是最优的，那就说明这个子树还可以继续调整，那么ak那颗树就也不是最优的

了）。




2）根据最优子结构性质来描述和刻画问题


用C[i , j]表示从 i 到 j 的最优二叉查找树的代价，那么问题就被划分为了n^2个子问题了（顶点号从0计数），假设有n个顶

点，那么我们的目标是要求C[0 , n-1]。（编号从0还是1开始无所谓，在编程的时候注意下标范围就行了）。


现在根据它的最优子结构来找状态转移方程：

从 i 到 j的一个最优二叉查找树是怎么得到的？（即一个C[i , j]是怎么来的），它是从 i 到 j 之间的顶点中选出一个顶点来做

root，假设选出的这个做root的顶点是 k （i <= k <= j ）,那么显然有：



这个式子其实可以直接想到，不用那么复杂的推导，它就是要找一个能使得C[i , j]代价最小的 k （这个k的范围在 i 到 j之

间），而后面为什么要加一个从i到j的概率呢？因为挑出了k后，它作root，每个点的查找长度都增加了1。当然，也有更严格

的推导，可以参考下：



3）有了状态转移方程，就可以画个矩阵看看初始条件，以及每个C[i , j]依赖那些值（填表顺序）。

初始条件有：C[i , i] = Pi，C[i , i-1] = 0

试探一下一个C[i , j]是怎么来的，就可以看出，应该沿对角线来填。

注意状态转移方程里当 k = i 或者 k = j 时，C[i , i - 1] 或者 C[j+1 , j]是没有定义的，在编程中只需要特殊处理下就

行：对于这种没有定义的取0，其他的取矩阵中的值。


最后一点，至于具体的实现，tmd书上总喜欢画一个不是从0开始的表，有时候甚至还横坐标从0开始，纵坐标从1开始，虽说

是为了填矩阵的方便，但看起来很狗。我一般n规模的问题，就开n * n的矩阵，下表从0到n-1，对超出边界的做一些特殊处

理就行了，就像上面的C[i , i-1]。看看书上的表（理解意思，具体实现我开的矩阵不一样，下标控制不一样）：




它这样来画表其实就是为了解决C[i , i-1]不在定义范围内，为了能直接从矩阵中取值才这么做的。


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上面就构造出了最优二叉查找树的最优代价的动态规划过程，利用上述状态转移方程可以填出所有的C[i , j]。

还有一个问题，跟上一篇文章中提到的一样，怎么去不仅仅得到C[i , j]这个代价，更要知道对应于这个代价的二叉树的形

状？

仍然是构造一个矩阵 A[0...n-1，0...n-1] 来记录动态规划的过程，每次选出一个 k 作root时，就把 k 记录下来，即用

A[i , j] = k 表示从 i 到 j 的最优二叉查找树的root是 k。（它还蕴含从 i 到 k - 1是左子树，k+1到 j 是右子树，注意我们

给定的从0到n-1顶点是一个中序序列！）

初始值 A[i , i] = i，表示只有自己的最优二叉查找树的root就是它自己。最后将得到一个矩阵A。它表达了二叉查找树的形

状，当然，还得根据A的含义，从A中获取从 i 到 j的最优二叉查找树的形状。




可以有下列算法，从A中输出从 i 到 j 的最优二叉查找树的形状（输出它的前序序列，因为中序序列是已知的）：

已知前序序列和中序序列，一个二叉树的形状就确定了：




也是用递归（最优子结构），其实方法跟上一篇Floyd的也差不多。


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实现：

package Section8;


/* 第八章 动态规划 最优二叉查找树(难！！！) */

public class OptBST {

/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
float [] P = {( float ) 0.1 ,( float ) 0.2 ,( float ) 0.4 ,( float ) 0.3 };

// 若返回值是最小代价，测试最小代价是否正确
// System.out.println("输出最优二叉排序树的最小代价：\n");
// float result = OptBST(P);
// System.out.println(result);

// 若返回值是表达最优二叉排序树形状的矩阵，测试矩阵是否正确
System.out.println( " 输出表达最优二叉排序树形状的矩阵：\n " );
int [][] R = OptBST(P);
for ( int i = 0 ;i < R.length;i ++ )
{
for ( int j = 0 ;j < R.length;j ++ )
System.out.print(R[i][j] + " 　　 " );
System.out.println();
}

}


public static int [][] OptBST( float [] P){
// 接受一个中序序列的点的查找概率数组，返回最优的二叉查找树的代价（注意P中的概率按顺序对应于点的中序序列）
int n = P.length; // 结点个数
float [][] result = new float [n][n];

int [][] R = new int [n][n]; // 表达二叉查找树形状的矩阵

for ( int i = 0 ;i < n;i ++ )
{
result[i][i] = P[i]; // 填充主对角线C[i,i] = P[i]
R[i][i] = i; // R[i][j]表示若只构造从i到j的树，那么root是R[i][j]
}

for ( int d = 1 ;d <= n - 1 ;d ++ ) // 共n-1条对角线需要填充
{
for ( int i = 0 ;i <= n - d - 1 ;i ++ ) // 横坐标的范围与对角线编号d的关系
{
int j = i + d; // 一旦横坐标确定后，纵坐标可以用横坐标与对角线编号表示出来
float min = 1000000 ;

int root = 0 ;

for ( int k = i;k <= j;k ++ )
{
float C1 = 0 ,C2 = 0 ; // 用C1，C2表示result[i,k-1]和result[k+1,j]
if (k > i)
C1 = result[i][k - 1 ];
if (k < j)
C2 = result[k + 1 ][j];

if (C1 + C2 < min)
{
min = C1 + C2;
root = k;
}
}

R[i][j] = root; // R[i][j]的值代表从i到j的最优二叉查找树的根

float sum = 0 ;
for ( int s = i;s <= j;s ++ )
// sum = sum + P[i]; // 你妈啊，一个小错误找了半天
sum = sum + P[s];

result[i][j] = sum + min;
}
}

// return result[0][n-1]; // 返回C[1,n],最小代价
return R; // 返回表达最优二叉排序树形状的矩阵
}

}

最优代价的矩阵和表达形状的矩阵在一起求的，需要哪个就返回哪个值，见代码。

很容易看出 时间复杂度是 n^3（k的选择需要一个循环） 的，空间复杂度是 n^2的 。

运行结果（返回表达二叉查找树形状的矩阵R）：


输出表达最优二叉排序树形状的矩阵：

0　　1　　2　　2　　
0　　1　　2　　2　　
0　　0　　2　　2　　
0　　0　　0　　3　　


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思考：

1，分析最优二叉查找树的时间复杂度，空间复杂度。（见分析讲解）


2，写一个线性时间的伪代码，从根表（矩阵A）生成最优二叉查找树（见分析讲解）


3，判断正误：一颗最优二叉查找树的根总是包含概率最高的键（错，很容易举反例，如果这句话是对的，那还要动态规划干

吗，那就可以用更简单的办法来构造最优二叉排序树了--直接根据概率选最大值就行了）


4，把最优二叉查找树（查找成功的代价最小）推广到成功和不成功总代价最小的情况（easy，改变C[i ,j]的含义，加上不成

功的概率即可）


5，证明：




重要：事实上 卡特兰数就是这样定义的 ，（如果后面有机会，我会深入学习下卡特兰数），该递推关系的解是由卡特兰数给

出的（现在都忘了，可以参见《组合数学》  卢开澄   北京大学出版社）。


如果不要求严格的证明，根据b（n）的含义，其实很容易写出上述递推式。（想一想）


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最后一题：矩阵连乘问题，见下一篇文章，作为一个解题报告。

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总结：

1）怎么去分析一个问题，试图用动态规划去解决？（ 先找最优子结构，从最有子结构去刻画和描述问题 ）

2） 逆向思维去找状态转移方程 ！

3）相对前面的几个动态规划算法，最优二叉查找树的填矩阵顺序稍显复杂（沿对角线），直接看递推式的数学形式可能看不

出来，画出矩阵，去尝试一个C[i ,j]是怎么求出来的，就能清晰的看出来。

4）卡特兰数非常重要，许多问题都是卡特兰数问题（参见什么叫做professional？），习题5给出了一个很好的引导证明。