1.2、逻辑用语

1.2、逻辑用语

一、命题

我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。
其中，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

二、四种命题及其关系

1、四种命题

• 原命题：它是相对其他三种命题而言，人为指定的命题，不是固定不变的，可以把任意一个命题看成原命题。
• 逆命题：把原命题的条件作为结论，而原命题的结论作为条件，得到的命题称为原命题的逆命题。
• 否命题：将原命题中的条件和结论同时加以否定得到的命题称为原命题的否命题。
• 逆否命题：将原命题的条件加以否定作为结论，将原命题的结论加以否定作为条件而得到的新命题称为原命题的逆否命题。

2、用数学语言表述四种命题

如果原命题用若p则q表示（p叫做原命题的条件，q叫做原命题的结论），p和q的否定用¬p和¬q表示，则四种命题可表示为。
原命题：若p则q
逆命题：若q则p
否命题：若¬p则¬q
逆否命题：若¬q则¬p

四种命题的相互关系

3、补充

• 互为逆否命题的两个命题的真假是等价的。即原命题与逆否命题，逆命题与否命题的真假相同
• 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系
• 四个命题中，真命题要么0个，要么2个，要么4个
• 在判断关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系。
• 命题的否定与否命题：
  否命题是对原命题条件和结论都否定，即若¬p则¬q；命题的否定指否定命题的结论，即若p则¬q。注意:对于全称（特称）命题要注意,它的否定时：那个全称（特称）量词也要否定.

4、命题与反证法

• 反证法的思维程序
  否定命题结论，推演过程引出矛盾。与题设相矛盾；与假设相矛盾；与定义、定理、公式相矛盾；自相矛盾。从而肯定结论。
• 反证法适合的题型：
  ①命题简单明了，没有更多公理概念等依据可供提供的命题
  ②结论本身是以否定形式出现的一类命题
  ③有关结论是以“至多......”或“至少......”等形式出现的一类命题
  ④关于唯一性、存在性的命题
  ⑤结论的反面比原结论更具体、更容易研究和掌握
• 反证法证题的一般步骤
  ①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
  ②从假设出发，经过推理论证得出结论；
  ③由矛盾判断假设不成立，从而肯定命题的结论成立
• 反证法常用的原结论词与反设词

原结论词	反设词	原结论词	反设词
至少有一个	一个也没有	对所有x成立	存在某x不成立
至多有一个	至少有两个	对任意x不成立	存在某x成立
至少有n个	至多有（n-1）个	p或q	非p且非q
至多有n个	至少有（n+1）个	p且q	非p或非q

三、充分条件、必要条件、充要条件

1、主要用来区分命题中条件与结论之间的关系：

• 充分而不必要条件：若p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分而不必要条件。
• 必要而不充分条件：若q⇒p且p⇏q，则称p是q的必要而不充分条件。
• 充要条件：若p⇒q且q⇒p，则称p是q的充要条件。
• 既不充分也不必要条件：若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件。

2、从集合角度看

建立命题p，q相应的集合：p：A={x/p(x)成立},q：B={x/q(x)成立},那么
①若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊂ B，则p是q的充分不必要条件；
②若B⊆A，则p是q的必要条件；若B⊂ A，则p是q的必要不充分条件；
③若A=B，则p是q的充要条件；
④若A⊈B且B⊈A，则p是q的既不充分也不必要条件。

四、 简单的逻辑联结词

1、逻辑联结词：“或”、“且”、“非”

简单命题：不含逻辑联结词的命题
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题
复合命题的形式：p或q（p∨q），p且q（p∧q），非p（¬p），非q（¬q）

2、逻辑联结词与集合的关系密切。

①用并集的概念来理解“或”
②用交集的概念来理解“且”
③用补集的概念来理解“非”

3、正面词语及否定举例

正面词语	是	都是	完全	负数	所有的	任意一个
否定词语	不是	不都是	不完全	非负数	某些	某个
正面词语	等于	大于	小于	至少一个	至多一个	至多n个
否定词语	不等于	不大于	不小于	一个也没有	至少两个	至少n+1个

4、复合命题及其真假：

对简单命题p和q，用逻辑联结词连接构成复合命题。
①或：p∨q，读作“p或q”
②且：p∧q，读作“p且q”
③非：¬p，¬q，读作“非p，非q”
④¬(p∨q)=(¬p)∧(¬q)；¬(p∧q)=(¬p)∨(¬q)
⑤真值表

p	q	p∨q	p∧q	¬p	¬p
真	真	真	真	假	假
真	假	真	假	假	真
假	真	真	假	真	假
假	假	假	假	真	真

⑥判断复合命题“p∨q”和“p∧q”的真假时，可参考真值表的逻辑进行判断。首先需对p和q的真假做出准确的判断，才能进行后面的复合命题的判断。

五、全称量词与存在量词

1、存在量词与特称命题

短语“存在一个”，“至少有一个”或“某一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题。

2、全称量词与全称命题

短语“对所有的”、“任意一个”、“每一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

3、全称命题与特称命题表达方法

命题	全称命题“∀x∈A,p(x)”	特称命题“∃属于A，p()”
表达方法	①所有的x∈A，p(x)成立	存在∈A，使p()成立
表达方法	②对一切x∈A，p(x)成立	至少有一个∈A，使p()成立
表达方法	③对每一个x∈A，p(x)成立	对有些∈A，使p()成立
表达方法	④任选一个x∈A，p(x)成立	对某个∈A，使p()成立
表达方法	凡x∈A，p(x)成立	有一个∈A，使p()成立

4、含有量词命题真假的判断

①判定全称命题的真假，判断为真，需证明限定集合中的所有元素都成立；判读为假，只需在限定集合中找到一个元素不成立即可；
②判定特称命题的真假，判断为真，只需在限定集合中，找出一个元素成立即可；判断为假，需在限定集合中的所有元素都不成立。

5、含有一个量词的否定

①含有一个量词的全称命题的否定是特称命题，如
全称命题p:∀ x∈M，p(x),它的否定¬p：∃ x∈M，¬p(x)。
②含有一个量词的特称命题的否定是全称命题，如
特称命题p:∃ x∈M，p(x),它的否定¬p：∀ x∈M，¬p(x)。

六、知识联系

本部分核心是命题，讲述了命题的四种形式，命题中条件与结论的关系，命题中的逻辑关系，命题中条件结论覆盖的范围等内容。联系较为紧密的是各种公理定理，这些公理定理都是真命题。

1、在初高中阶段，命题公理多在几何中，初中高中几何，有特别多的命题。可以找一些练习各种命题，理解各种命题。

如①：原命题：两直线平行，同位角相等
逆命题：同位角不相等，则两直线不平行
否命题：两直线不平行，则同位角不相等
逆否命题：同位角不相等，则两直线不平行
②:原命题：两平面相交，若所成的二面角为直二面角，则两平面互相垂直。
逆命题：两平面相交，若两平面互相垂直，则所成的二面角为直二面角。
否命题：两平面相交，若所成的二面角不是直二面角，则两平面互相不垂直。
逆否命题：两平面相交，若两平面互相不垂直，则所成的二面角不为直二面角。
类似定理特别多。

2、反证法

在推理与证明中，反证法是非常重要的证明方法。基本思维就是对原命题的结论否定，然后推理演算，得到一个矛盾的结果，从而证明假设错误，原结论正确。

3、在判断题中，常常用到全称量词与特称量词的思维

如所有实数的0次方都为1，此命题即为全称命题。
该命题为真命题还是假命题呢，我们可以举出0的0次方无意义的特殊例子。所以，该命题为假命题。在判断全称命题时，通常举特例来判断。而在特称命题时，用全部的元素去检验。

4、逻辑用语可以和任何章节的知识联系，因为任何数学章节中均可以构建命题，因此就存在命题的真假问题，命题中条件和结论关系的问题，问题中逻辑用语的使用，问题中存在量词与全称量词的使用。

七、例题

• 例题1. B 给定下列命题：
  ①若k > 0，则方程有实根；
  ②若a > b，则a + c > b + c；
  ③对角线相等的四边形是矩形；
  ④若xy = 0，则x、y中至少有一个为0.
  其中真命题的序号是________________.

答案：①②③

• 例题2、(1) 命题“垂直于同一直线的两条直线相互平行”的逆命题为_____；
  (2)命题“若a > 1，则a > 0”的否命题为_____；
  (3)命题“全等三角形的面积相等”的逆否命题为_____；
  (4) 命题“若M∪N =N，则M⊂N”的否命题为________________.

答案：（1）若两条直线互相平行，则这两条直线垂直于同一条直线；
（2）若a,则a
（3）若面积不相等的三角形不全等
（4）若M∪N≠N，则M不是N的真子集。

• 例题3、 已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是（　　）
  A．逆命题、否命题、逆否命题都为真
  B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假
  C．逆命题为假，否命题、逆否命题为真
  D．逆命题、否命题为假，逆否命题为真

答案：逆命题：若对角线互相垂直，则为菱形 假
否命题：非菱形的对角线不垂直，假
逆否命题：如果对角线不垂直，则不是菱形 真
答案为D

• 例题4、下列各题中，p是q的什么条件？
  (1)p: x = 3,q:
  (2)
  (3)p: A= ∅,q:A⋃B=B
  (4)p: a>b,q:|a|>|b|
  (5)p: a>1,q:a>

答案：(1)充分不必要条件;(2)必要不充分条件;(3)充分不必要条件;(4)既不充分也不必要条件;(5)充要条件。

• 例题5、写出命题“若xy=0，则x=0或y=0 ”的逆命题、否命题、逆否命题以及命题的否定.

答案：逆命题：若x=0或y=0，则xy=0
否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0
逆否命题：若x≠0且y≠0，则xy≠0
命题的否定：若xy=0，则x则x≠0且y≠0

• 例题6、 (1)“奇数是质数”的否定是：
  (2)“至少有一个质数不是奇数”的否定是：
  (3)“2是偶数”的否定是：
  (4)“实数的平方大于0”的否定是：

答案： (1)“有一个奇数是不是质数”
(2)“所有质数都是奇数”
(3)“2不是偶数”
(4)“存在一个实数的平方小于等于0”

• 例题7、命题P：∃x∈(-1,+∞)，是假命题，求m的取值范围。

答案：
p为假命题，则¬p为真命题。
¬p为：任意的x∈(-1,+∞)，
即为在x∈(-1,+∞)恒成立
该不等式可化为
令x+1=t（t>0）则
所以t <
所以m取值范围为(-∞，)

• 例题8、(2014重庆,6,5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是(　　)
  A.p∧q B.¬p∧¬q C.¬p∧q D.p∧¬q

答案：D。知识考点1：带有量词的命题p和q的否定，带有量词的命题否定，一定要注意全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词；知识点2：用逻辑关联词连接的复合命题的真假判断。命题p与¬p，一定一个是真命题，一个是假命题；知识点3：命题的逻辑关系非、或、且的符号表示及其理解。

• 例题9、(2015湖北,9,5分)已知集合A={(x,y)|,x,y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B=,则A⊕B中元素的个数为(　　)
  A.77 B.49 C.45 D.30

答案：C。知识点1：集合知识；知识点2：排列组合知识；3、数学新逻辑关系的建立；

• 例题10、(2014湖南,5,5分)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(¬q);④(¬p)∨q中,真命题是(　　)
  A.①③　　B.①④　　C.②③　　D.②④

答案：C。知识点：逻辑关联词构成的复合命题的真假判断。先判断命题p和命题q的真假，然后再判断逻辑关联词下的命题的真假。

• 例题11、(2014辽宁,5,5分)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是(　　)
  A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q)

答案：A。知识点：逻辑关联词构成的复合命题的真假判断。先判断命题p和命题q的真假，然后再判断逻辑关联词下的命题的真假。

• 例题12、""是""
  ” 的( )
  A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
  C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

答案：A。知识点：逻辑用语中条件与结论的关系，此题简单。

• 例题13、(2014山西太原高三模拟考试（一），5) 已知命题p:∃ , 若p∨（¬q）为假命题，则实数m的取值范围是( )
  A. （-∞，0）∪（2，+∞） 　　B. [0,2]　　C. R　　D.∅

答案：B。本题相对较难，根据条件得出命题p为假命题，命题q为真命题，然后根据命题p函数图像求出，,根据命题q为真命题，得出，求交集即为[0,2]。知识点1：函数图像知识灵活应用；知识点2：一元二次函数知识简单使用；知识点3：逻辑关联词的复合命题的真假判断；知识点4：求函数图像交点时，用到指数函数的切线方程求法，用到导数知识。

疑问：命题的否定时，为什么存在量词与全称量词要互相改变？