粒子滤波算法

1、前言

粒子滤波器是一新类型的非线性滤波器，已成为一个解决非线性滤波问题的重要工具，因为它能应用于很多领域，如信号处理、雷达和声音媒体的目标跟踪、计算机视觉、神经计算。

令$X_n$表示所有的目标状态序列${\{x_i\}}_{i=1}^n$；
$Y_n$表示所有观测序列${\{y_i\}}_{i=1}^n$；
给定观测序列$Y_n$的条件下，所有状态$X_n$的联合后验分布为$p(X_n|Y_n)$；
由于$X_n$表示的状态序列对观测者都是隐藏的，获得直接从后验分布$p(X_n|Y_n)$中随机取样通常是不可行的。因此从另外一个分布中取样，这一分布称为工具分布，用$q(X_n|Y_n)$来表示。为了使重要分布能够有效代替后验分布，$q(X_n|Y_n)$必须有一个足够广的支集，以完全包括$p(X_n|Y_n)$的支集。

2、 Monte Carlo积分

所谓重要性抽样方法，即从重要性分布$q(X_n|Y_n)$中随机抽取N个统计独立且同分布的样本构成一个集合。令n时刻随机取出的样本集记为$X_n^{(i)},i=1,2,...,N$,从零时刻开始直到n时刻，一步一步的，在状态空间中，根据重要性分布$q(X_n|Y_n)$,N个样本追踪自己的“轨迹”。它们的轨迹记为$X_n^{(i)}$,其中,i=1,2,…,N，称为粒子，因此面名为粒子滤波器。

定义重要性函数：
$$r(X_n|Y_n)=\frac{p(X_n|Y_n)}{q(X_n|Y_n)}\text{\hspace{1em}(式1)}$$
利用贝叶斯估计量的定义：
$$\overline{h}=E_p[h(X_n)]=\int h(X_n)p(X_n|Y_n)d{x}_n$$
改写其定义，可以改写贝叶斯估计量的公式：
$$\overline{h}=E_p[h(X_n)]=\int h(X_n)\frac{p(X_n|Y_n)}{q(X_n|Y_n)}q(X_n|Y_n)d{x}_n=\int h(X_n)r(X_n|Y_n)q(X_n|Y_n)d{x}_n\text{\hspace{1em}(式2)}$$
其中$h(X_n)$作为任意函数，为了使它和粒子滤波的术语保持一致性。
在式2的贝叶斯计量上运用重要性取样方法，得到相应的Monte Carlo估计量：
$${\hat{h}}_n(N)\approx \frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{w}_n^{(i)}h(X_n^{(i)}\text{\hspace{1em}(式3)}$$
其中
$$w_n^{(i)}=\frac{w_n^{(i)}}{{\sum }_{j=1}^N{w}_n^{(j)}}，i=1,2,...,N\text{\hspace{1em}(式4)}$$
对有限数量的粒子，N个，估计量${\hat{h}}_n(N)$是有偏的，但是，在渐进的意义，满足下述关系：
$$\underset{N\to \infty }{\lim }\hat{h}(N)\to \overline{h}\text{\hspace{1em}(式5)}$$

取样的第二阶段背后的基本原理:
重采样的第二阶段取出的样本$x_n^{(i)}$，它的标准化重要性权值$w_n^{(i)}$很大，很有可能从联合后验分布$p(X_n|Y_n)$；比起标准化重要性权值小的样本，应该以更大的概率选择这样的样本。
实现SIR的方式，每一次循环中进行以下操作：
（1）、采样。随机地从重要性分布$q(X|Y)$中抽取一个N个样品$\{X^{(i)}\}$_{i=1} ^N的iid集合。
（2）、加权。利用式4，计算相关的标准化权值$\{w^{(i)}{\}}_{i=1}^N$的集合。
（3）、重采样。
（i）给定中间样本$X^{(1)},X^{(2)},..,X^{(N)}$，条件独立地抽取含L个离散随机变量$\{I^1,I^2,...,I^N\}$的集合，从集合$\{1,2,..N\}$中依概率$(w^1,w^2,..,w^N)$取值，如以下例子所示：
$$P(I^{(1)}=j)=w^{(j)},j=1,2,...,N$$
对$I^{(2)},..,I^{(L)}$等，典型地，有$L\le N$。
（i）设$X^{(i)}=X^{(I_j)}$,其中$i=1,2,...,L$。
集合$\{I^{(1)},I^{(2)},..,I^{(L)}\}$被认为是多项式实验过程，因此，根据SIR方法被描述为一种多项式类型。