频域信号处理

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观察信号的频谱 　　数据通过FFT转换成频域信号，对频域信号进行分析，再通过IFFT转换成时域信号。 [Python]  纯文本查看 复制代码 import numpy as np import pylab as pl import matplotlib as mpl mpl.rcParams[ 'font.sans-serif' ] = [ 'KaiTi' ] mpl.rcParams[ 'font.serif' ] = [ 'KaiTi' ] mpl.rcParams[ 'axes.unicode_minus' ] = False sampling_rate = 8000 #取样频率 fft_size = 512 #fft长度 t = np.arange( 0 , 1.0 , 1.0 / sampling_rate) #假设取样频率为fs, 取波形中的N个数据进行FFT变换。那么这N点数据包含整数个周期的波形时，FFT所计算的结果是精确的。于是能精确计算的波形的周期是: n*fs/N。 #对于8kHz取样，512点FFT来说，8000/512.0 = 15.625Hz，前面的156.25Hz和234.375Hz正好是其10倍和15倍。 #选取整数倍的数据，查看当fft后的数据在频谱中形成整数周期时的情况。 x = np.sin( 2 * np.pi * 156.25 * t) + 2 * np.sin( 2 * np.pi * 234.375 * t) #选取非整数倍的数据，查看当fft后的数据在频谱中没有形成非整数周期时的情况。 x = np.sin( 2 * np.pi * 200 * t) + 2 * np.sin( 2 * np.pi * 300 * t) xs = x[:fft_size] #取数据 xf = np.fft.rfft(xs) / fft_size #rfft：对实数信号进行FFT变换。/fft_size是为了正确显示波形能量 freqs = np.linspace( 0 , sampling_rate / 2 , fft_size / 2 + 1 ) #fft_size/2+1个点，后面的是与前面的共轭 #计算每个频率分量的幅值，并通过 20*np.log10() 将其转换为以db(分贝)为单位的值 xfp = 20 * np.log10(np.clip(np. abs (xf), 1e - 20 , 1e100 )) #clip将数据限制在最小值和最大值之间 pl.figure(figsize = ( 8 , 4 )) #新建一个8*4英寸的图纸 pl.subplot( 211 ) #绘制2行1列的图纸，这个图形占据第一行 pl.plot(t[:fft_size], xs) pl.xlabel(u "时间(秒)" ) pl.title(u "156.25Hz和234.375Hz的波形和频谱" ) pl.subplot( 212 ) #绘制2行1列的图纸，这个图形占据第二行 pl.plot(freqs, xfp) pl.xlabel(u "频率(Hz)" ) pl.subplots_adjust(hspace = 0.4 ) pl.show() 运行结果如下图所示： 　　整数周期情况：   　　非整数周期情况： 　   如上两图可看出非整数周期情况下，第二种情况可能会发生信号泄露状况。由于FFT的假设前提是测量之外的信号是所测量信号的不断重复，如代码中那样，取8k个样例，从信号中取出的512个数据就是FFT的测量范围，也就是说每个波形周期是15.625Hz，它计算的是这512个数据一直重复的波形的频谱。显然如果512个数据包含整数个周期的话，那么得到的结果就是原始信号的频谱，而如果不是整数周期的话，得到的频谱就是如下波形的频谱，这里假设对50Hz的正弦波进行512点FFT，这种波形会发生跳变。   窗函数 　　为了减少FFT所截取的数据段前后的跳变，可以对数据先乘以一个窗函数，使得其前后数据能平滑过渡。例如常用的hann窗函数的定义如下： hann窗的曲线如下所示：   可看到，最前和最后的值都是0，如果直接去乘的前后会出现两个0，因此可考虑将这个波形用N+1个点表示，而取前N个点，这样第N+1个点就是下一个波形的第一个点，也就是0,通过设置sym参数解决。这与调用linspace时指定endpoint=False类似，丢掉最后一个点。 [Python]  纯文本查看 复制代码 signal.hann( 8 ) #array([0. , 0.1882551 , 0.61126047, 0.95048443, 0.95048443, # 0.61126047, 0.1882551 , 0. ]) signal.hann( 8 , sym = 0 ) #array([0. , 0.14644661, 0.5 , 0.85355339, 1. , # 0.85355339, 0.5 , 0.14644661]) 将hann窗与50hz相乘，它的曲线会更加平滑。   之前的非整数周期加了hann窗之后的结果如下图所示：   频谱平均 　　对于频谱特性不随时间变化的信号，例如引擎、压缩机等机器噪声，可以对其进行长时间的采样，然后分段进行FFT计算，最后对每个频率分量的幅值求其平均值可以准确地测量信号的频谱，测试随机数序列频谱如下所示 [Python]  纯文本查看 复制代码 def average_fft(x, fft_size):[ / align][align = left] n = len (x) / / fft_size * fft_size tmp = x[:n].reshape( - 1 , fft_size) #将n行转成n列，转为一个二维数组 tmp * = signal.hann(fft_size, sym = 0 ) xf = np. abs (np.fft.rfft(tmp) / fft_size) avgf = np.average(xf, axis = 0 ) return 20 * np.log10(avgf) [ / align][align = left] 结果为[ / align][align = left][img = 279 , 100 ]https: / / img2018.cnblogs.com / blog / 1800229 / 201909 / 1800229 - 20190919145733755 - 125985719.png [ / img]这个频谱的能量趋近于一条直线，每个窗的能量相差不大，被称为白色噪声。[ / align][ list ] [ * ][size = 18pt ] 快速卷积[ / size] [ / list ][align = left]　　信息处理可看作是将原始信号与一个信号进行卷积，也就需要考虑运算效率。这部分主要是比较FFT和直接卷积的运算效率[ / align][align = left]x = np.random.rand( 100000 ) - 0.5 xf = average_fft(x, 512 ) pl.plot(xf) pl.show() [Python]  纯文本查看 复制代码 def fft_convolve(a,b): n = len (a) + len (b) - 1 N = 2 * * ( int (np.log2(n)) + 1 ) #FFT的长度：大于n的最小的2的整数次幂 A = np.fft.fft(a, N) B = np.fft.fft(b, N) return np.fft.ifft(A * B)[:n] if __name__ = = "__main__" : a = np.random.rand( 128 ) b = np.random.rand( 128 ) c = np.convolve(a,b) print (np. sum (np. abs (c - fft_convolve(a,b)))) 结果为1.865645261656436e-12，也就是说FFT和普通卷积的结果相差很小，但速度却快很多。   分段运算 　　对于输入信号 x 和系统向量（eg:FIR滤波器）h而言，x的长度不固定，h的长度固定。为了加快卷积效率， 我们需要x和h的长度相当，也就是说对x进行分段处理，这种分段算法被称为overlap-add运算。但是由于FFT在两个数组的分段长度相当时最为有效，因此在实时性要求很强的系统中，采用直接卷积会更好一些。 [Python]  纯文本查看 复制代码 import numpy as np[ / align]x = np.random.rand( 1000 ) h = np.random.rand( 101 ) y = np.convolve(x, h) N = 50 # 分段大小 M = len (h) # 滤波器长度 output = [] #缓存初始化为0 buffer = np.zeros(M + N - 1 ,dtype = np.float64) for i in range ( int ( len (x) / N)): #从输入信号中读取N个数据 xslice = x[i * N:(i + 1 ) * N] #计算卷积 yslice = np.convolve(xslice, h) pl.cla() pl.plot(yslice) #将卷积的结果加入到缓冲中 buffer + = yslice #输出缓存中的前N个数据，注意使用copy，否则输出的是buffer的一个视图 output.append( buffer [:N].copy() ) #缓存中的数据左移动N个元素 buffer [ 0 :M - 1 ] = buffer [N:] #后面的补0 buffer [M - 1 :] = 0 #将输出的数据组合为数组 y2 = np.hstack(output) #计算和直接卷积的结果之间的误差 print (np. sum (np. abs ( y2 - y[: len (x)] ) )) Hilbert 变换 　　Hilbert变换能在振幅保持不变的情况下将输入信号的相角偏移90度，简单地说就是能将正弦波形转换为余弦波形。 [Python]  纯文本查看 复制代码 from scipy import fftpack import numpy as np import matplotlib.pyplot as pl # 产生1024点4个周期的正弦波 t = np.linspace( 0 , 8 * np.pi, 1024 , endpoint = False ) x = np.sin(t) # 进行Hilbert变换 y = fftpack.hilbert(x) pl.plot(x, label = u "原始波形" ) pl.plot(y, label = u "Hilbert转换后的波形" ) pl.legend() pl.show() 结果如下所示：   　　Hilbert变换后可将直流分量变为0，正频率成分偏移+90度，负频率成分偏移-90度。它也可用来进行包络检波。 [Python]  纯文本查看 复制代码 import numpy as np import pylab as pl from scipy import fftpack t = np.arange( 0 , 0.3 , 1 / 20000.0 ) x = np.sin( 2 * np.pi * 1000 * t) * (np.sin( 2 * np.pi * 10 * t) + np.sin( 2 * np.pi * 7 * t) + 3.0 ) hx = fftpack.hilbert(x) pl.plot(x, label = u "载波信号" ) pl.plot(np.sqrt(x * * 2 + hx * * 2 ), "r" , linewidth = 2 , label = u "检出的包络信号" ) pl.title(u "使用Hilbert变换进行包络检波" ) pl.legend() pl.show()