指数量化投资 #53 - 再谈凯利公式

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第50周的周报指数量化投资 #50 - 你的仓位应该加到多少？写到利用凯利公式进行仓位管理可以在长期投资中获取最大收益。本周开始看威廉•庞德斯通的《财富公式》，这本书详细介绍了凯利公式的来历，以及一群数学家、科学家如何利用凯利公式投资并且与经济学家们争辩的过程。全书还没有看完，但是对凯利公式的理解已经更深了一层，因此本周再来说一下凯利公式。

克劳德•香农是信息论的奠基人，他提出的信息论是数字通信和互联网络的理论基础。同时他也是计算机的主要发明人之一，发明了计算机二进制和“比特”的概念。

约翰•凯利是美国贝尔实验室科学家、物理学博士。他在贝尔实验室工作期间，证明香农在通讯噪声干扰理论中使用的数学模型同样适用于投资者对于风险和收益的管理，并且投资者在追求最大复利收益的同时也可以把破产的风险降低到零。香农提出的这种两全其美的理论同样可以应用到赌博当中去。当凯利向香农提到自己将信息论运用到其它领域的重大发现时，香农敦促他写成论文发表，凯利公式就此诞生。

而另一位美国数学家爱德华•索普发表了《21点最佳策略》，被博彩届人士称为“赌神”和“21点之父”。他也是凯利公式的坚定支持者之一，并创立了自己的基金公司，利用自己的数学才华不断在赌博和投资事业上取得成功。

我们再来重复一下凯利公式的优点：获取最大复利收益，同时避免破产风险。下面这幅图是用凯利公式和其它三种场景下注方法的对比：

最简单的是把总本金的10%用于下注，之后下注金额不变。这种下注方式不仅回报曲线上升的趋势非常缓慢，一旦运气不好，连续十几次输钱就有可能血本无归。

孤注一掷是每次把全部赌本都押上，如果盈利再把利润和本金一起全部押上，只要一次运气不好就会把钱输光。

双倍下注是如果输钱下次就下双倍赌注，看上去双倍下注的成绩还比较稳定，但和固定金额下注一样，一旦运气不好，资金链断裂，就会血本无归。

而凯利系统是将手中的赌注按比例下注，每次下注的结果都不会输光，而且充分利用了手中的资本，因此其回报是以几何级数增长的。凯利系统计算出的下注比例是最优比例，下图展示了其它下注比例与凯利公式计算比例的比较：

其中准凯利系统，每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的一半。而超凯利系统每次下注的金额相当于凯利系统下注金额的两倍。可以看到准凯利系统曲线走势更为平稳，但是收益比凯利系统低。而超凯利系统不仅波动更大，而且还有输光的风险。

虽然凯利公式获取最大复利问题的数学最优解，但并非适合每一个投资者。来看下面这幅图：

凯利公式追求最大回报，其合理的下注就包括使用杠杆，因此波动性很高，事实上凯利系统比道琼斯或标准普尔的历史状况都要动荡得多。而且在无限的凯利赌博中，你的资金缩减到原来一半的可能性为1/2，变成原来1/3的可能性是1/3，变成原来1/100的可能性是1/100。或许在你资产刚刚达到一个高峰后，马上就损失掉大多数的资产，这样巨大的波动性不是每一个投资者都可以接受的。那么如何能够降低波动获取更稳定的回报呢？看下面这幅图：

横坐标划分的单位我们称其为凯利分割。1代表标准的凯利赌博，0代表不下注，2表示所下赌注为凯利标准的两倍。复合回报曲线在凯利赌博中达到顶峰。你的下注越大，你的资金波动的幅度就越大。如果你的投资在凯利标准右侧，与凯利标准相比，不仅复合回报下降了，而且动荡性也增加了。因此你的投资只应该在图表的左侧，低于或等于凯利标准。如果你的下注只有凯利标准的一半，不仅大大降低了波动性，而回报只减少了1/4，这就是通常所说的“半凯利公式”。如果你想有更稳定的回报，不妨试试“半凯利公式”。

不管是凯利公式，还是半凯利公式，最后还是要提醒使用凯利公式之前认真考虑清楚这三个问题：

你的投资是否能够持续无限轮，以应付小概率事件？

你估算的获胜概率、获胜收益率、失败时的本金损失率是否准确？

你是否能够承受加杠杆带来的高波动？

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实盘业绩

截止2018-09-28，指数量化投资实盘收益率如下：

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长赢计划

本周长赢计划买入三份，一份富国沪深300、一份兴全可转债、一份广发创业板，继续在且慢跟车买入。上周发车买入的上证50本周涨幅1.24%，全指金融地产本周跌幅-0.01%，没有选择跳车不仅省心省力，买入成本也没有提高。所以遇到发车信号能跟就跟，省下时间好好工作才是上策。

上周买入的一格广发医药（159938）本周卖出，盈利5.15%；上周买入的500ETF（510500）因为买入价格实在太便宜了，本周只卖出半格，盈利5.01%。目前持有中概互联2格、500ETF买入9格卖出2.5格。

长赢收益率走势图如下：

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估值计划

本周A股大盘股上涨，小盘股下跌，估值计划本周没有操作。自A股6月19日跌破3000点以来，估值计划不断加仓，一共买入35份，超过半数仓位。此外累计收益率最低点为-11.64%，也在预期控制范围内。目前持仓的品种港股恒生国企和大盘股上证50处于盈利状态，中证红利浮亏也只有-0.84%，浮亏较多的依然是处于弱势的小盘股。

估值计划收益率走势图如下：