近世代数-Chap01-半群和幺半群

近世代数

云课堂课程，哈尔滨工业大学任世军教授讲授。

良序原理、数学归纳法、二元代数运算

1. 第一数学归纳法的证明：

利用反证法证明，令 Z1={n|n∈N,P(n)不真} ，设 m 为 Z1 中的最小数， m>1 ， P(m) 不真， P(m−1) 为真， m−1⩾1 ， P(m) 为真，矛盾，从而 Z1=ϕ ，结论成立。

2. 第二数学归纳法的证明：

利用反证法证明，令 Z1={n|n∈N,P(n)不真} ，设 m 为 Z1 中的最小数， m>1 ， P(m) 不真，由假设， ∀k<m,P(k) 为真，矛盾，从而 Z1=ϕ ，结论成立。

3. 定理 1.1 的证明：

当 n=3 时， (a1∘a2)∘a3=a1∘(a2∘a3) ，命题成立。
设有 k,1⩽k<n ，

===(a1∘a2∘⋯∘ak)∘(ak+1∘⋯∘an)(a1∘a2∘⋯∘ak)∘((ak+1∘⋯∘an−1)∘an)((a1∘a2∘⋯∘ak)∘(ak+1∘⋯∘an−1))∘an)(a1∘a2∘⋯∘an−1)∘an

4. 定理 1.3 的证明：

当 n=2 时，由定义，定理成立。
当 n=k 时，定理成立，由此，推出 n=k+1 时，定理成立。
详细证明过程略。。。

5. 定理 1.4 的证明：

al∘a=a,∀a∈S
a∘ar=a,∀a∈S
特别地，
al∘ar=al=ar ，定理得证。

有限半群成为幺半群的条件

1. 定理 11.3.4 的证明

al∘a=e,a∘ar=e
(al∘a)∘ar=e∘ar=ar
al∘(a∘ar)=al∘e=al
而由于结合律
(al∘a)∘ar=al∘(a∘ar)
所以
al=ar

子半群、子幺半群及例子

1. 定理 11.3.5 的证明

由前面的结论知， (S,∘) 为幺半群，
∀s∈S,sS=S
φ(x)=s∘x,∀s∈S
对于 ∀s∈S,∃n∈N ，使得
sn=e,s∘sn−1=e
s−1=sn−1,sn−1∘s=e

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生成子半群、子幺半群、理想、循环半群、循环幺半群

定理 11.4.1 的证明

设 (P,∘,e) 为一个幺半群， I 为指标集合， ∀α∈I ， Aα 为 P 的一个子幺半群，令 M=∩α∈IAα ， ∀α∈I ， e∈Aα ，从而 e∈∩α∈IAα=M ， M≠ϕ 。
∀a,b∈M ，即 a,b∈∩α∈IAα ，从而 ∀α∈I,a,b∈Aα ，有 a∘b∈Aα ，故 a∘b∈∩α∈IAα=M ，即 (M,∘) 为代数系，从而 M 为 P 的一个子幺半群。
注意：若干个半群的交不一定是半群，有可能为空。

定理 11.4.3 的证明

令 P 是由 A 生成的左理想， P=∩Aα ， Aα 为包含 A 的所有左理想，往证 P=A∪SA 。
由 A⊆Aα=P ，由 A⊆Aα ，有 SA⊆SAα⊆Aα ，从而， SA⊆P ，有 A∪SA⊆P 。