TPAMI2015跟踪算法KCF原理及代码解析

文章和代码下载地址：

http://www.robots.ox.ac.uk/~joao/circulant/

一、基础公式的由来

相关滤波跟踪器可以表示为最小化的岭回归问题：

表示期望相应，表示正则系数防止过拟合。

具体公式怎么来的可以参考CSK算法：https://blog.csdn.net/qq_17783559/article/details/82321239

<,> 表示点乘，b在实际中没有意义，不用管，可以理解直接省掉。所以原式等价于：

样本的整体用来代表，元素的整体用来表示，即表示的第行，代表的第个元素。则上式可以写成：

求上式的最小值即为求解导数为0的极值点，上式对求导得

所以

参考MOSSE，相关转换到傅里叶域需要复共轭，所以的求解可以表达成下式：

               

二、滤波器w的求解转换到傅里叶域

上式的样本是一个循环矩阵，其中第一行表示真实的样本，后面的每一行都是通过前一行移位一个元素得到的

 这样一个循环矩阵存在以下特性

       

其中表示的DFT变换形式，表示一个与无关的常量矩阵，也叫做DFT矩阵。对于任意的输入矩阵都有：

所以

因此

或者写成

三、核技巧

上面的求解过程可以认为是一维2D特征，那么如果特征为多维呢，如31维HOG特征。

（解释一下2D特征：2D特征就是这个特征是一个面的，有长有宽。如灰度图像直接输入就可以认为是一个一维2D特征；如果彩色图像输入，可以认为是一个三维2D特征；HOG特征就是31维的2D特征）

如果特征是多维的，每一个维度都计算一遍，那么也是一个多维的，其实这样计算也可以。作者为了提高计算效率加入了核技巧。没啥高大上的，其实简单理解就是把高维度的2D特征转换为一维的2D特征，并且还能保留充足的信息量。

的解可以表示为样本的线性组合（前人已经证明可以，那就是可以）：

表示的就是多维的特征空间，特征是已知的，要求解是不是只需要把求解出来就可以了。

引入核函数降低将高维特征转换到低维：

是一个的核矩阵，简单理解就是经过操作了一下，和就变成了中的一个元素。

然后原式的求解可以转化为：

也是一个循环矩阵，转化到傅里叶域为：

这两个公式的推到过程可以参考原文或者这篇博客：https://blog.csdn.net/qq_17783559/article/details/82321239

如果用HOG特征加Gauss核的话，

其中，和都是31个维度的2D特征，和都是一个维度的2D特征，最后我们通过如下公式来确定当前帧目标的位置：