优化方法的总结

最近在看Google的Deep Learning一书，看到优化方法那一部分，正巧之前用tensorflow也是对那些优化方法一知半解的，所以看完后就整理了下放上来，主要是一阶的梯度法，包括SGD, Momentum, Nesterov Momentum, AdaGrad, RMSProp, Adam。 其中SGD,Momentum,Nesterov Momentum是手动指定学习速率的,而后面的AdaGrad, RMSProp, Adam,就能够自动调节学习速率.
二阶的方法目前我水平太差，看不懂….就不放上来了。

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BGD

即batch gradient descent. 在训练中,每一步迭代都使用训练集的所有内容. 也就是说,利用现有参数对训练集中的每一个输入生成一个估计输出 yi^ ,然后跟实际输出 yi 比较,统计所有误差,求平均以后得到平均误差,以此来作为更新参数的依据.

具体实现:
需要:学习速率 ϵ , 初始参数 θ
每步迭代过程:
1. 提取训练集中的所有内容 {x1,…,xn} ,以及相关的输出 yi
2. 计算梯度和误差并更新参数:

g^←+1n∇θ∑iL(f(xi;θ),yi)θ←θ−ϵg^

优点:
由于每一步都利用了训练集中的所有数据,因此当损失函数达到最小值以后,能够保证此时计算出的梯度为0,换句话说,就是能够收敛.因此,使用BGD时不需要逐渐减小学习速率 ϵk

缺点:
由于每一步都要使用所有数据,因此随着数据集的增大,运行速度会越来越慢.

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SGD

SGD全名 stochastic gradient descent， 即随机梯度下降。不过这里的SGD其实跟MBGD(minibatch gradient descent)是一个意思,即随机抽取一批样本,以此为根据来更新参数.

具体实现:
需要:学习速率 ϵ , 初始参数 θ
每步迭代过程:
1. 从训练集中的随机抽取一批容量为m的样本 {x1,…,xm} ,以及相关的输出 yi
2. 计算梯度和误差并更新参数:

g^←+1m∇θ∑iL(f(xi;θ),yi)θ←θ−ϵg^

优点:
训练速度快,对于很大的数据集,也能够以较快的速度收敛.

缺点:
由于是抽取,因此不可避免的,得到的梯度肯定有误差.因此学习速率需要逐渐减小.否则模型无法收敛
因为误差,所以每一次迭代的梯度受抽样的影响比较大,也就是说梯度含有比较大的噪声,不能很好的反映真实梯度.

学习速率该如何调整:
那么这样一来, ϵ 如何衰减就成了问题.如果要保证SGD收敛,应该满足如下两个要求:

∑k=1∞ϵk=∞∑k=1∞ϵ2k<∞

而在实际操作中,一般是进行线性衰减:

ϵk=(1−α)ϵ0+αϵτα=kτ

其中 ϵ0 是初始学习率, ϵτ 是最后一次迭代的学习率. τ 自然代表迭代次数.一般来说, ϵτ 设为 ϵ0 的1%比较合适.而 τ 一般设为让训练集中的每个数据都输入模型上百次比较合适.那么初始学习率 ϵ0 怎么设置呢?书上说,你 先用固定的学习速率迭代100次,找出效果最好的学习速率,然后 ϵ0 设为比它大一点就可以了.

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Momentum

上面的SGD有个问题,就是每次迭代计算的梯度含有比较大的噪音. 而Momentum方法可以比较好的缓解这个问题,尤其是在面对小而连续的梯度但是含有很多噪声的时候,可以很好的加速学习.Momentum借用了物理中的动量概念,即前几次的梯度也会参与运算.为了表示动量,引入了一个新的变量v(velocity).v是之前的梯度的累加,但是每回合都有一定的衰减.

具体实现:
需要:学习速率 ϵ , 初始参数 θ , 初始速率v, 动量衰减参数 α
每步迭代过程:
1. 从训练集中的随机抽取一批容量为m的样本 {x1,…,xm} ,以及相关的输出 yi
2. 计算梯度和误差,并更新速度v和参数 θ :

g^←+1m∇θ∑iL(f(xi;θ),yi)v←αv−ϵg^θ←θ+v

其中参数 α 表示每回合速率v的衰减程度.同时也可以推断得到,如果每次迭代得到的梯度都是g,那么最后得到的v的稳定值为

ϵ∥g∥1−α

也就是说,Momentum最好情况下能够将学习速率加速 11−α 倍.一般 α 的取值有0.5,0.9,0.99这几种.当然,也可以让 α 的值随着时间而变化,一开始小点,后来再加大.不过这样一来,又会引进新的参数.

特点:
前后梯度方向一致时,能够加速学习
前后梯度方向不一致时,能够抑制震荡

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Nesterov Momentum

这是对之前的Momentum的一种改进,大概思路就是,先对参数进行估计,然后使用估计后的参数来计算误差

具体实现:
需要:学习速率 ϵ , 初始参数 θ , 初始速率v, 动量衰减参数 α
每步迭代过程:
1. 从训练集中的随机抽取一批容量为m的样本 {x1,…,xm} ,以及相关的输出 yi
2. 计算梯度和误差,并更新速度v和参数 θ :

g^←+1m∇θ∑iL(f(xi;θ+αv),yi)v←αv−ϵg^θ←θ+v

注意在估算 g^ 的时候,参数变成了 θ+αv 而不是之前的 θ

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AdaGrad

AdaGrad可以自动变更学习速率,只是需要设定一个全局的学习速率 ϵ ,但是这并非是实际学习速率,实际的速率是与以往参数的模之和的开方成反比的.也许说起来有点绕口,不过用公式来表示就直白的多:

ϵn=ϵδ+∑n−1i=1gi⊙gi−−−−−−−−−−√

其中 δ 是一个很小的常亮,大概在 10−7 ,防止出现除以0的情况.

具体实现:
需要:全局学习速率 ϵ , 初始参数 θ , 数值稳定量 δ
中间变量: 梯度累计量r(初始化为0)
每步迭代过程:
1. 从训练集中的随机抽取一批容量为m的样本 {x1,…,xm} ,以及相关的输出 yi
2. 计算梯度和误差,更新r,再根据r和梯度计算参数更新量

g^←+1m∇θ∑iL(f(xi;θ),yi)r←r+g^⊙g^△θ=−ϵδ+r√⊙g^θ←θ+△θ

优点:
能够实现学习率的自动更改。如果这次梯度大,那么学习速率衰减的就快一些;如果这次梯度小,那么学习速率衰减的就满一些。

缺点:
任然要设置一个变量 ϵ
经验表明，在普通算法中也许效果不错，但在深度学习中，深度过深时会造成训练提前结束。

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RMSProp

RMSProp通过引入一个衰减系数，让r每回合都衰减一定比例，类似于Momentum中的做法。

具体实现:
需要:全局学习速率 ϵ , 初始参数 θ , 数值稳定量 δ ，衰减速率 ρ
中间变量: 梯度累计量r(初始化为0)
每步迭代过程:
1. 从训练集中的随机抽取一批容量为m的样本 {x1,…,xm} ,以及相关的输出 yi
2. 计算梯度和误差,更新r,再根据r和梯度计算参数更新量

g^←+1m∇θ∑iL(f(xi;θ),yi)r←ρr+(1−ρ)g^⊙g^△θ=−ϵδ+r√⊙g^θ←θ+△θ

优点：
相比于AdaGrad,这种方法很好的解决了深度学习中过早结束的问题
适合处理非平稳目标，对于RNN效果很好

缺点：
又引入了新的超参，衰减系数 ρ
依然依赖于全局学习速率

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RMSProp with Nesterov Momentum

当然，也有将RMSProp和Nesterov Momentum结合起来的

具体实现:
需要:全局学习速率 ϵ , 初始参数 θ , 初始速率v，动量衰减系数 α , 梯度累计量衰减速率 ρ
中间变量: 梯度累计量r(初始化为0)
每步迭代过程:
1. 从训练集中的随机抽取一批容量为m的样本 {x1,…,xm} ,以及相关的输出 yi
2. 计算梯度和误差,更新r,再根据r和梯度计算参数更新量

θ~←θ+αvg^←+1m∇θ~∑iL(f(xi;θ~),yi)r←ρr+(1−ρ)g^⊙g^v←αv−ϵr√⊙g^θ←θ+v

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Adam

Adam(Adaptive Moment Estimation)本质上是带有动量项的RMSprop，它利用梯度的一阶矩估计和二阶矩估计动态调整每个参数的学习率。Adam的优点主要在于经过偏置校正后，每一次迭代学习率都有个确定范围，使得参数比较平稳。

具体实现:
需要:步进值 ϵ , 初始参数 θ , 数值稳定量 δ ，一阶动量衰减系数 ρ1 , 二阶动量衰减系数 ρ2
其中几个取值一般为： δ=10−8,ρ1=0.9,ρ2=0.999
中间变量：一阶动量s，二阶动量r,都初始化为0
每步迭代过程:
1. 从训练集中的随机抽取一批容量为m的样本 {x1,…,xm} ,以及相关的输出 yi
2. 计算梯度和误差,更新r和s,再根据r和s以及梯度计算参数更新量

g←+1m∇θ∑iL(f(xi;θ),yi)s←ρ1s+(1−ρ1)gr←ρ2r+(1−ρ2)g⊙gs^←s1−ρ1r^←r1−ρ2△θ=−ϵs^r^√+δθ←θ+△θ