欧几里得算法、证明及扩展，看这一篇就够了

数学的力量是伟大的，也是美丽的。 —— 本人说的

本文算是对中佛罗里达大学提供的对欧几里得算法证明的翻译，想看英文证明的, 这里是链接>英文材料<

欧几里得算法 （Euclid’s Algorithm）

众所周知，大名鼎鼎的欧几里得是为了求两个整数之间的最大公因数，也就是所谓的辗转相除法了，在下面的内容中，我将分别从欧几里得算法证明、欧几里得算法扩展和代码实现来介绍。先作一个约定，若一个数p可以被q整除，也就是说q除以p余数为0，我们记 p | q

最大公因数

我们记gcd(a,b)为a和b之间的最大公因数，gcd denotesgreatest common divisor，如果一个整数c是a和b的最大公因数，那么必然满足以下两条规格：

1. c | a 且c | b
2. 对于任何a和b的公共因数d，d | c

实际上，规则2保证了规则1中的c就是a和b的最大公因数

形式化描述

欧几里得算法的形式化描述如下,其中所有的字母都代表整数：
$$a=q_{1}b+r_1,其中0<r_1<b$$

$$b=q_2{r}_1+r_2,其中0<r_2<r_1$$

$$r_1=q_3{r}_2+r_3,其中0<r_3<r_2$$

$$...$$

$$r_i=q_{i+2}{r}_{i+1}+r_{i+2},其中0<r_{i+2}<r_{i+1}$$

$$...$$

$$r_{k-1}=q_{k+1}{r}_k$$

$$gcd(a,b)=r_k$$

也就是说， gcd(a,b)= gcd(b,a%b)，一直递归处理到a%b，那时对应的被除数/除数的商就是最大公因数c了。

考虑以下这个例子，GCD(125, 87)
125 = 1*87 + 38
87	= 2*38 + 11
38	= 3*11 + 5
11  = 2*5  + 1
5	= 5*1

所以，GCD(125, 87)=1

证明

证明gcd返回的是a和b之间的最大公因数，我们可以分两步来证明：

• 1.首先，我们证明，gcd返回的数确实是a和b之间的公因数

回顾一下上面的公式：
$$a=q_{1}b+r_1,其中0<r_1<b$$

$$b=q_2{r}_1+r_2,其中0<r_2<r_1$$

$$r_1=q_3{r}_2+r_3,其中0<r_3<r_2$$

$$...$$

$$r_i=q_{i+2}{r}_{i+1}+r_{i+2},其中0<r_{i+2}<r_{i+1}$$

$$...$$

$$r_{k-1}=q_{k+1}{r}_k$$

从最后一个式子，我们知道$r_k|r_{k-1}$，然后再考虑它的上一个式子$r_{k-2}=q_k{r}_{k-1}+r_k=q_k{q}_{k+1}{r}_k+r_k=(q_k{q}_{k+1}+1)r_k$, 也就是说$r_k|r_{k-2}$，按照同样的方法往上面的式子一直求下去，直到最顶端的a和b，可以得到$r_k|a$ 和 $r_k|b$, 这里我就不再多说了，自己可以在纸上稍微演算一下。

OK，我们的目标达到，得证：gcd返回的数确实是a和b之间的公因数。

• 2.其次，我们要证明，对于任何a和b的公共因数d，d | gcd(a,b), 也就是说给定任何一个a和b的公因数d，它总是能被gcd(a,b)整除

这里，我们假设任意的a和吧之间的公因数为d，既然是公因数，那么必然有$a=d{a}^{\prime },b=d{b}^{\prime }$, 再次回顾一下公式：
$$a=q_{1}b+r_1,其中0<r_1<b$$

$$b=q_2{r}_1+r_2,其中0<r_2<r_1$$

$$r_1=q_3{r}_2+r_3,其中0<r_3<r_2$$

$$...$$

$$r_i=q_{i+2}{r}_{i+1}+r_{i+2},其中0<r_{i+2}<r_{i+1}$$

$$...$$

$$r_{k-1}=q_{k+1}{r}_k$$
这次，我们从第一个式子开始, $a=q_{1}b+r_1$，即$r_1=a-q_{1}b=d{a}^{\prime }-q_{1}d{b}^{\prime }=d(a^{\prime }-q_1{b}^{\prime })$ ，即$d|r_1$
继续看第二个式子，$b=q_2{r}_1+r_2$,有了上面的$d|r_1$后，我们记$r_1=d{r}_1^{\prime }$,于是$b=q_2{r}_1+r_2=q_{2}d{r}_1^{\prime }+r_2$, 即$r_2=b-q_{2}d{r}_1^{\prime }=d{b}^{\prime }-q_{2}d{r}_1^{\prime }=d(b^{\prime }-q_2{r}_1^{\prime })$,也就是说$d|r_2$
按照这样的方式一直计算下去，直到最后一个式子，可以证明$d|r_k$

至此，rule1和rule2证毕，欧几里得算法得证。

欧几里得算法扩展

若整数a和b的最大公因数为d，即gcd(a,b)=d,那么一定存在整数x、y使得下式成立：
$$ax+by=gcd(a,b).$$

让我们再次回归公式，三顾欧几里得算法了。。。
$$a=q_{1}b+r_1,其中0<r_1<b$$

$$b=q_2{r}_1+r_2,其中0<r_2<r_1$$

$$r_1=q_3{r}_2+r_3,其中0<r_3<r_2$$

$$...$$

$$r_i=q_{i+2}{r}_{i+1}+r_{i+2},其中0<r_{i+2}<r_{i+1}$$

$$...$$

$$r_{k-2}=q_k{r}_{k-1}+r_k,其中0<r_k<r_{k-1}$$

$$r_{k-1}=q_{k+1}{r}_k$$

从倒数第二个式子看起，$gcd(a,b)=r_k=r_{k-2}-q_k{r}_{k-1}$,再看倒数第三个式子$r_{k-1}=r_{k-3}-q_{k-1}{r}_{k-2}$,将后面这个式子代入前者，得到

$$gcd(a,b)=r_k=r_{k-2}-q_k(r_{k-3}-q_{k-1}{r}_{k-2})=(1+q_k{q}_{k-1})r_{k-2}-q_k{r}_{k-3}$$

也就是说，gcd(a,b)是$r_{k-2}$和$r_{k-3}$的线性组合，按照类似的方法，你可以继续将$r_{k-2}$替换掉然后再代入，可以得到gcd(a,b)是$r_{k-3}$和$r_{k-4}$的线性组合，再替换掉$r_{k-3}$并代入，可以得到gcd(a,b)是$r_{k-4}$和$r_{k-5}$的线性组合。。。然后一直这样下去，你就可以得到gcd(a,b)是a和b的线性组合，证毕。

代码

至于代码，那就很简答了，辗转相除，是我们从学c语言开始就会背的程序了，23333…

int get_gcd(int a,int b)   // 假设a>=b
{
	int r=a%b;
	while(r!=0)
	{
		a=b;
		b=r;
		r=a%b
	}
	return b;
}