SPFA 算法(Shortest Path Faster Algorithm)

一、算法背景

求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 

SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。

有人称spfa算法是最短路的万能算法。

二、适用范围：

    给定的图存在负权边，这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地，而Bellman-Ford算法的复杂度又过高，SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。当然，我们可以在执行该算法前做一次拓扑排序，以判断是否存在负权回路，但这不是我们讨论的重点。

三、SPFA算法思想（动态逼近法）：

    设立一个先进先出的队列q用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。 
    松弛操作的原理是著名的定理：“三角形两边之和大于第三边”，在信息学中我们叫它三角不等式。所谓对结点i,j进行松弛，就是判定是否dis[j]>dis[i]+w[i,j]，如果该式成立则将dis[j]减小到dis[i]+w[i,j]，否则不动。 

    下面举一个实例来说明SFFA算法是怎样进行的：

四、和广搜bfs的区别：

    SPFA 在形式上和广度(宽度)优先搜索非常类似，不同的是bfs中一个点出了队列就不可能重新进入队列，但是SPFA中一个点可能在出队列之后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点之后，过了一段时间可能本身被改进( 重新入队 )，于是再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。

五、算法的描述：

void  spfa(s);  //求单源点s到其它各顶点的最短距离
    for i=1 to n do { dis[i]=∞; vis[i]=false; }   //初始化每点到s的距离，不在队列
    dis[s]=0;  //将dis[源点]设为0
    vis[s]=true; //源点s入队列
    head=0; tail=1; q[tail]=s; //源点s入队, 头尾指针赋初值
    while head//队首出队
       v=q[head];  //队首结点v
       vis[v]=false;  //释放对v的标记，可以重新入队
       for 每条边(v,i)  //对于与队首v相连的每一条边
  	  if (dis[i]>dis[v]+a[v][i])  //如果不满足三角形性质
	 	dis[i] = dis[v] + a[v][i]   //松弛dis[i]
		if (vis[i]=false) {tail+1; q[tail]=i; vis[i]=true;} //不在队列，则加入队列
    } 

六、最短路径本身怎么输出？

    在一个图中，我们仅仅知道结点A到结点E的最短路径长度，有时候意义不大。这个图如果是地图的模型的话，在算出最短路径长度后，我们总要说明“怎么走”才算真正解决了问题。如何在计算过程中记录下来最短路径是怎么走的，并在最后将它输出呢？

    我们定义一个path[]数组，path[i]表示源点s到i的最短路程中，结点i之前的结点的编号(父结点)，我们在借助结点u对结点v松弛的同时，标记下path[v]=u，记录的工作就完成了。

    如何输出呢？我们记录的是每个点前面的点是什么，输出却要从最前面到后面输出，这很好办，递归就可以了： 

c++ code:

void printpath(int k){

if (path[k]!=0) printpath(path[k]);

cout << k << ' ';}

pascal code:

procedure printpath(k:longint);

begin

if path[k]<>0 then printpath(path[k]);

write(k,' ');

end;

spfa算法模板(邻接矩阵)：

c++ code:

void spfa(int s){

for(int i=0; i<=n; i++) dis[i]=99999999; //初始化每点i到s的距离

dis[s]=0; vis[s]=1; q[1]=s; 队列初始化,s为起点

int i, v, head=0, tail=1;

while (head队列非空

head++;

v=q[head]; 取队首元素

vis[v]=0; 释放队首结点，因为这节点可能下次用来松弛其它节点，重新入队

for(i=0; i<=n; i++) 对所有顶点

if (a[v][i]>0 && dis[i]>dis[v]+a[v][i]){

dis[i] = dis[v]+a[v][i]; 修改最短路

if (vis[i]==0){ 如果扩展结点i不在队列中，入队

tail++;

q[tail]=i;

vis[i]=1;

}

} }

}

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