使用Python语言完成SVM实现分类

SVM（support vector machine）支持向量机：

注意：本文不准备提到数学证明的过程，一是因为有一篇非常好的文章解释的非常好：http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/7624837，另一方面是因为我只是个程序员，不是搞数学的（主要是因为数学不好。），主要目的是将SVM以最通俗易懂，简单粗暴的方式解释清楚。

线性分类：

先从线性可分的数据讲起，如果需要分类的数据都是线性可分的，那么只需要一根直线f(x)=wx+b就可以分开了，类似这样：

这种方法被称为：线性分类器，一个线性分类器的学习目标便是要在 n 维的数据空间中找到一个超平面（hyper plane）。也就是说，数据不总是二维的，比如，三维的超平面是面。

但是有个问题：

上述两种超平面，都可以将数据进行分类，由此可推出，其实能有无数个超平面能将数据划分，但是哪条最优呢？

最大间隔分类器Maximum Margin Classifier：

简称MMH， 对一个数据点进行分类，当超平面离数据点的“间隔”越大，分类的确信度（confidence）也越大。所以，为了使得分类的确信度尽量高，需要让所选择的超平面能够最大化这个“间隔”值。这个间隔就是下图中的Gap的一半。

用以生成支持向量的点，如上图XO，被称为支持向量点，因此SVM有一个优点，就是即使有大量的数据，但是支持向量点是固定的，因此即使再次训练大量数据，这个超平面也可能不会变化。

非线性分类：

数据大多数情况都不可能是线性的，那如何分割非线性数据呢？

解决方法是将数据放到高维度上再进行分割，如下图：

当f(x)=x时，这组数据是个直线，如上半部分，但是当我把这组数据变为f(x)=x^2时，这组数据就变成了下半部分的样子，也就可以被红线所分割。

比如说，我这里有一组三维的数据X=（x1,x2,x3），线性不可分割，因此我需要将他转换到六维空间去。

因此我们可以假设六个维度分别是：x1,x2,x3,x1^2,x1*x2,x1*x3，当然还能继续展开，但是六维的话这样就足够了。

新的决策超平面：d(Z)=WZ+b，解出W和b后带入方程，因此这组数据的超平面应该是：

d(Z)=w1x1+w2x2+w3x3+w4*x1^2+w5x1x2+w6x1x3+b

但是又有个新问题，转换高纬度一般是以内积（dot product）的方式进行的，但是内积的算法复杂度非常大。

核函数Kernel：

我们会经常遇到线性不可分的样例，此时，我们的常用做法是把样例特征映射到高维空间中去。但进一步，如果凡是遇到线性不可分的样例，一律映射到高维空间，那么这个维度大小是会高到可怕的，而且内积方式复杂度太大。此时，核函数就隆重登场了，核函数的价值在于它虽然也是讲特征进行从低维到高维的转换，但核函数绝就绝在它事先在低维上进行计算，而将实质上的分类效果表现在了高维上，也就如上文所说的避免了直接在高维空间中的复杂计算。

几种常用核函数：

h度多项式核函数（Polynomial Kernel of Degree h）

高斯径向基和函数（Gaussian radial basis function Kernel）

S型核函数（Sigmoid function Kernel）

图像分类，通常使用高斯径向基和函数，因为分类较为平滑，文字不适用高斯径向基和函数。

没有标准的答案，可以尝试各种核函数，根据精确度判定。

松弛变量：

数据本身可能有噪点，会使得原本线性可分的数据需要映射到高维度去。对于这种偏离正常位置很远的数据点，我们称之为 outlier ，在我们原来的 SVM 模型里，outlier 的存在有可能造成很大的影响，因为超平面本身就是只有少数几个 support vector 组成的，如果这些 support vector 里又存在 outlier 的话，其影响就很大了。

因此排除outlier点，可以相应的提高模型准确率和避免Overfitting的方式。

解决多分类问题：

经典的SVM只给出了二类分类的算法，现实中数据可能需要解决多类的分类问题。因此可以多次运行SVM，产生多个超平面，如需要分类1-10种产品，首先找到1和2-10的超平面，再寻找2和1,3-10的超平面，以此类推，最后需要测试数据时，按照相应的距离或者分布判定。

SVM与其他机器学习算法对比(图)：

Python实现方式：

线性，基础：

 from sklearn import svm

 x = [[2,0,1],[1,1,2],[2,3,3]]
 y = [0,0,1] #分类标记
 clf = svm.SVC(kernel = 'linear') #SVM模块，svc,线性核函数
 clf.fit(x,y)

 print(clf)

 print(clf.support_vectors_) #支持向量点

 print(clf.support_) #支持向量点的索引

 print(clf.n_support_) #每个class有几个支持向量点

 print(clf.predict([2,0,3])) #预测

线性，展示图：

 from sklearn import svm
 import numpy as np
 import matplotlib.pyplot as plt

 np.random.seed(0)
 x = np.r_[np.random.randn(20,2)-[2,2],np.random.randn(20,2)+[2,2]] #正态分布来产生数字,20行2列*2
 y = [0]*20+[1]*20 #20个class0，20个class1

 clf = svm.SVC(kernel='linear')
 clf.fit(x,y)

 w = clf.coef_[0] #获取w
 a = -w[0]/w[1] #斜率
 #画图划线
 xx = np.linspace(-5,5) #(-5,5)之间x的值
 yy = a*xx-(clf.intercept_[0])/w[1] #xx带入y，截距

 #画出与点相切的线
 b = clf.support_vectors_[0]
 yy_down = a*xx+(b[1]-a*b[0])
 b = clf.support_vectors_[-1]
 yy_up = a*xx+(b[1]-a*b[0])

 print("W:",w)
 print("a:",a)

 print("support_vectors_:",clf.support_vectors_)
 print("clf.coef_:",clf.coef_)

 plt.figure(figsize=(8,4))
 plt.plot(xx,yy)
 plt.plot(xx,yy_down)
 plt.plot(xx,yy_up)
 plt.scatter(clf.support_vectors_[:,0],clf.support_vectors_[:,1],s=80)
 plt.scatter(x[:,0],x[:,1],c=y,cmap=plt.cm.Paired) #[:，0]列切片，第0列

 plt.axis('tight')

 plt.show()