相对论（relativity），量子力学(quantum mechanics)和超对称(supersymmetry)

相对论（relativity），量子力学(quantum mechanics)和超对称(supersymmetry)

相对论（一）

在我有生之年，可能遇到的最让我开心的事就是看到超对称在LHC被证实了，那时我一定激动地热泪盈眶，朝闻道，夕死可矣。有些时候和系里面的朋友聊天，朋友偶尔抱怨现在并不是研究物理的好年代，羡慕或是嫉妒这张经典的索维尔会议（Soviet conference）照片里所有的人。

WLxs013-t2双折射 第五次索维尔会议与会者合影WL031.jpg

虽然相对论还有量子力学还没有完全的自洽起来从而得到终极的量子引力理论，但是越来越多的经验似乎在告诉物理学家，我们并不需要其他的假设，单单是相对论还有量子力学就足够我们得到宇宙最终的答案。有一个比喻是这样的，如果把一个懂的数理逻辑的人关在一个黑屋里让他隔绝所有对自然的观测，然后只告诉他自然的规律要满足相对论和量子力学，那么最后他所导出的物理模型会和我们看到的世界差不太多，可能有些基本常量的数值不太一样。
相对性原理可以理解为一种对称性原理，也就是每个惯性观测者应该是等价的（洛伦兹对称），换句话说就是要求系统本身具有洛伦兹对称性。在之前的文章（李群和李代数）里我也提过，系统的解（量子态）和群的表示有一个一一对应。洛伦兹的群表示为SO(3,1)，基本的操作是4维时空的转动。SO代表转动，3表示3个空间方向的转动；那个1和时间维度有关，因为时间是单向的，所以转动操作失去了意义，取而代之是称为boost（速度影响时间的流逝）的操作。常见的洛伦兹群的表示是标量(0)还有向量(1)。还有比较特殊的表示:自旋子(spinors)(1/2). 每个表示后面括号里面值可以理解为如果你对这个量子态进行一个周天的转动，这个量子态转动的圈数。所以标量不会动，向量会跟着转一圈，但是spinor只转半圈。如果用一个箭头来表示spinor(⬆️)，一周天的转动操作后，这个spinor变成(⬇️)，和之前完全不同的一个量子态。你可能觉得很奇怪，为什么转动对称性消失了。其实不尽然，记住虽然系统本身具有对称性但是我们并不需要系统的解具有相同的对称性，对称操作是把一个解转化成另外一个解。所以我们知道(⬇️)这个态也一定存在的。(我们可以考虑spinor的能量，能量在空间转动下表现为标量，所以进行一个周天的操作下不会改变，我们就可以得知 ⬆️和⬇️spinor应该有相同的能量；如果spinor和一个空间向量相互作用，很多人知道spinor会和磁场相互作用，那么进行一个周天的转动操作下，能量不应该变，磁场方向不变，但是自旋方向变了！自旋和磁场的相对方向决定了spinor的势能。那么按照这个分析，spinor在周天转动下，能量应该发生改变！这似乎有个矛盾，其实从这个我么可以得知磁场并不是向量，而是所谓的伪(pseudo-)向量。)
（一切看起来都很合理除了这个自旋表示的存在本身。一个理解是我们之前说量子态和对称的表示一一对应。其实准确的来说，这并不是要求和群的表示对应而是和群的李代数的表示对应。三维转动SO(3)和二维在复数空间的转动SU(2)具有相同的李代数，而二维空间的转动的一个表示很直接的就是一个2维(⬆️，⬇️)复数向量。同样的我们有SO(3,1)，SO(4)和SU(2)xSU(2)具有相同的李代数。具有相同李代数的李群之间并不等价，只是相差一些离散（比如反射）的对称性。用拓扑的语言就是，李群对应了流形李代数对应了流形上的向量空间。如果流形是连接的（connected）那么可以由local的李代数得到global的李群。但是如果李群本身就是由不连接的（disjoint）的大陆组成的，那么就可以出现局部性质一样但是全局性质不一样的情况。比如SO(3)是连续的一块大陆，但是SU(2)是由2块相同但是不连接的大陆组成，我们可以说SU(2)是SO(3)的一个双层覆盖（double cover）所以你绕SO(3)的大陆跑一圈，对应的在SU(2)大陆上，你在第一块大陆也跑了一圈，但是你没有回到原点而是跳到第二块大陆上了）。

对于完整的洛伦兹的自旋表示，因为我们有两个SU(2)，所以我们可以有两种spinors，一般称为左和右。一个spinor可以由一个整数或是半整数来表示。所以最最一般的洛伦兹群的自旋表示为（n,m), 分别代表了左和右的自旋态。其中（½，½）和一个向量在转动下的行为一样，所以可以理解为一个向量。从群论的角度来看，自旋表示比起向量或是其他其实更自然。因为如果SU(2)和 SO(3) 关系，每一个转动群SO(N)，都有一个double cover，称为自旋群(spin group) Spin(N)。

量子力学（二）

量子原理可以理解为不确定原理。最直接的一个粒子的位置和速度不同同时确定。所以不可以有静止的粒子。所以不可以有经典(满足量子力学之前的物理定律)的运动轨迹（当然静止也是一种运动轨迹）。考虑如果有两个粒子的量子态一模一样会怎样？
我们就可以精确测量一个粒子的位置，然后再精确测量另外一个粒子的速度，我们就同时测得里这个量子态的位置和速度！当然这个是不被量子力学允许的。我们有两个解决方案，两个方案也对应了两种不同种类的量子态。方案一，很简单直接要求在这个状态上只允许存在一个粒子，这就是泡力（Pauli）不相容原理，而这种量子态被称为费米态的。方案二，我们允许在这个量子态上存在多个粒子，但是我们同时要求，这些粒子之间是相互联系的，相干的，纠缠的。所以当你试图测量一个粒子位置或速度的时候，就会影响另外的粒子，所以你就不能再精确测量其他物理量了，这种量子态成为波色态。相干或者纠缠是量子态的普遍特性，并不是只是波色态独有的。一般来说纠缠态就是当你测量其中的一个粒子后，另一个粒子的状态会随之改变。
类似的道理，量子态最好不能是连续的。连续就意味着，两个态可以无限的接近，这样你就可以同时无限准确地测量位置和速度只要你选取两个无限接近的量子态。虽然你也可以说无限接近和完全相同还是本质不一样的，可是数学上两者是等价的。比如0.999999（无穷循环）和 整数1 是相等的。
费米态看起来有点奇怪，可是还是很必要的。不然的话所有的粒子都会趋于最低能量态，那样的话这个世界就一片死寂了。正是因为不相容原理才有了繁花似锦的量子态，才有了不同的原子，才让材料有了各种不同的物理化学性质。
似乎不存在一个很直观的解释，不过理论上可以证明，相对论原理要求所有的费米态都有自旋半整数，所有的波色态都有自旋整数。

因为不存在唯一的轨迹(历史)，给定同一个初态(这里需要一次测量来确定初状态)，最后观测的结果(这里需要第二次测量)可能不同，而是服从一种概率分布。所以测量的初状态和测量的末状态不再像经典力学那样是一一对应的了。而是另外的极端。就是给定一个测量的初状态，所有的可测量的末状态都是有一定概率发生的。这也可以说所有的轨迹都是可能发生，或者成为历经所有历史。而不同历史概率应该就是路径本身的决定的。不同的路径有不同的概率，也可以说这个概率是历史的函数(更准确的说是泛函)。在所有的路径里有一条特殊的经典路径，就是服从经典力学的路径。这条路径是我们宏观见到的路径，所以我们可以想象这条路径是概率最大的，这也意味着在经典力学适用的范围我们可以忽略其他路径的贡献。这也给出了我们这个概率函数的一个性质，就是在经典路径下取极值。
这里我们也可以反过来想。如果我们有了这个概率函数，那么我们可以通过求这个函数的极值来寻找经典路径或是推导出粒子应该满足的经典力学。
量子修正会随着能量的增加而逐渐加强，这也意味着要得到一个可靠的结果我们可以忽略的路径也越来越少。
这里我们也可以换一个思路。类似于在能量很低的时候，我们只需要很简单的经典力学然后只考虑一条经典路径，可不可以在能量升高量子效应不可忽略的时候，我们找到一个比经典力学复杂一些的理论然后把这个复杂一些的理论当做我们新的经典的理论然后还是只考虑一条新的改正后经典路径。答案是可以的。这个新的经典理论称为有效理论(effective theory)。我们也可以理解为我们通过不断修正经典力学来无限近似量子力学的结果。当然修正后经典力学也变得越来与复杂，而且当修正到很后面的时候，计算量可能和考虑更多路径的计算量差不多。

这就体现出超对称理论的美来了。有的超对称理论(N=4SYM)完全不需要量子修正，有的超对称理论(N=2SYM)的effective theory可以很容易(当然需要的一定的智慧 Seiberg-Witten theory)的确定。

超对称（三）
用代数的语言说相对性原理就是，描述自然的系统本身具有洛伦兹不变形，或者说系统的对称群是SO(3,1)。所以系统的解必须是洛伦兹群的某种表示(representation)。每种不同的表示代表了不同类型的粒子。比如量子电动力学，我们有电子还有光子(量子化的电磁场)。电子就是自旋表示而光子就是向量表示。还有引力量子化后的引力子是一个对称张量(tensor)表示。在洛伦兹变化下，不同表示下的粒子只在自己的表示中转化。
而超对称是一种对称操作，把一种表示下的粒子变化到另一种表示下的粒子。注意这里说的表示都是洛伦兹群的表示。因为在粒子物理里，在洛伦兹对称的基础上我们还要加上其它的对称，这些群也有对应的表示。而超对称并不会改变这些额外群的表示。还是考虑量子动力学，量子动力学的额外的对称性成为U(1)或者SO(2)对称性，这个对称性也是电子带电的原因。这里需要稍微解释一下。
当我们说某种东西带电的时候，我们物理上其实是说，这种东西会被电磁场影响。从代数的角度去理解就是，电磁场(光子)本身代表了某种群操作，而这个带电的物体属于这个群的某种表示。因为电荷只有正负两种(两种态)并且光子只有一种(一种操作)，那么可以想象这个对称就应该这种正负电荷之间的相互转化也就是SO(2)。而且因为光子只有一种，所以光子和光子之间不会直接相互作用，因为只有一种态。用群论的语言就是，电子属于SO(2)群的基本(fundamental)表示，光子是群的伴随(adjoint)表示。所以不存在超对称让电子和光子相互转化。但是我们可以分别引入电子和光子的超对称伴侣超电子(selectron)和超光子(photonino)从而构造超对称的量子点动力学。所以要引入超对称，我们必须加倍我们目前已知的所有基本粒子，也就是给每一个基本粒子找一个伴侣(不容易啊)！
以上是从物理角度描述超对称。
我们也可以完全从代数角度理解：扩大洛伦兹的群结构，从而这个更大的群的表示自动包涵了洛伦兹群的多种表示。比如我们希望新的群的一个表示可以包涵自旋(自旋为½)表示和标量(自旋为0)表示。
在原先的洛伦兹群(old)的操作下我们有：
自旋(1/2) -> 自旋(1/2)
自旋(0) -> 自旋(0)
我们需要增加的群操作(new)是：
自旋(1/2) -> 自旋(0)
自旋(0) -> 自旋(1/2)
我们发现我们得到了一个更高一层的代数结构：
old+old=old; (连续两个 old 操作可以等同一个新的old 操作)
new+new=old; (连续两个 new 操作可以等同某一个old 操作)
old+new=new; (连续new 和 old 操作可以等同某一个new操作)
这在代数上成为一种分级(grading)。
所以通过这种分级我们可以自然的把洛伦兹群扩展为分级洛伦兹群。