介值定理的一个应用

设 $f(x),g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数, 且 $\dps{\max_{x\in [0,1]}f(x)=\max_{x\in [0,1]}g(x)}$. 证明: 存在 $x_0\in [0,1]$, 使得 $$\bex e^{f(x_0)}+3f(x_0)=e^{g(x_0)}+3g(x_0). \eex$$

证明: 设 $$\bex f(x_1)=\max_{x\in [0,1]}f(x)=\max_{x\in [0,1]}g(x)=g(x_2). \eex$$ (1) 若 $x_1=x_2$, 则取 $x_0=x_1=x_2$ 即有结论.
(2) 若 $x_1\neq x_2$, 不妨设 $x_1<x_2$, 则 $$\bex h(x)\equiv f(x)-g(x)\ra h(x_1)\geq 0\geq h(x_2). \eex$$ 由连续函数的介值定理, $$\bex \exists\ x_0\in [x_1,x_2],\st h(x_0)=0\ra f(x_0)=g(x_0), \eex$$ 而也有结论成立.