实变函数一窥

“在微积分学中，主要是从连续性、可微性、黎曼可积性三个方面来讨论函数（包括函数序列的极限函数）。如果说微积分学所讨论的函数都是性质“良好”的函数（例如往往假设函数连续或只有有限个间断点），那么，实变函数论是从连续性、可微性、可积性三个方面讨论最一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数。它所得到的有关的结论自然也适用于性质“良好”的函数。实变函数论是微积分学的发展和深入。
　　函数可积性的讨论是实变函数论中最主要的内容。它包括H.L.勒贝格的测度、可测集、可测函数和积分以及少许更一般的勒贝格－斯蒂尔杰斯测度和积分的理论（见勒贝格积分）。这种积分比黎曼积分是更为普遍适用和更为有效的工具，例如微积分基本定理以及积分与极限变换次序。精美的调和分析理论(见傅里叶分析)就是建立在勒贝格积分的基础上的。此外，还适应特殊的需要而讨论一些特殊的积分。例如为讨论牛顿－莱布尼茨公式而有佩隆积分。由于有了具有可列可加性的测度和建立在这种测度基础上的积分，导致了与微积分中函数序列的点点收敛和一致收敛不同的一些新的重要收敛概念的产生，它们是几乎处处收敛、度量收敛（亦称依测度收敛）、积分平均收敛等。度量收敛在概率论中就是依概率收敛，且具有特别重要的地位。积分平均收敛在一般分析学科中也是常用的重要收敛。傅里叶级数理论以及一般的正交级数理论就是以积分的平方平均收敛为基本的收敛概念。一般正交级数的无条件收敛问题在实变函数论中也有所讨论。
　　在函数连续性方面，实变函数论考察了例如定义在直线的子集 $M$（不必是区间）上的函数的不连续点的特征：第一类不连续点最多只有可列个，第二类不连续点必是可列个（相对于 $M$ 的）闭集的并集（也称和集）的结论；还讨论怎样的函数可以表示成连续函数序列处处收敛的极限，引入半连续函数，更一般地是引入贝尔函数，并讨论它们的结构。
　　与研究函数连续性密切相关的就是讨论各类重要的点集如 $F_\sigma$, $G_\delta$, $F_{\sigma\delta}$, $G_{\delta\sigma}$，更一般的是波莱尔集及其结构。解析集合论就是在深入讨论波莱尔集和勒贝格可测集相互关系基础上形成的一个数学分支。
　　实变函数论在函数可微性方面所获得的结果是非常深刻的。设 $f(x)$ 是定义在 $(a,b)$ 上的、在每点取有限值的实函数。对于每个 $x\in (a,b)$，引入四个数：

$$D^+f(x)=\sup_{h>0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

$$D^-f(x)=\sup_{h<0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

$$D_+f(x)=\inf_{h>0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

$$D_-f(x)=\sup_{h<0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},$$

分别称 $D^+f(x)$, ($D^-f(x)$), $D_+f(x)$ ($D_-f(x)$) 为 $f(x)$ 在 $x$ 处的右方上(下)导数，左方上(下)导数。这四个数（可以是无限大）都相等且有限时，就称 $f(x)$ 在 $x$ 处是可导的。历史上人们曾以为 $[a,b]$ 上任何连续函数 $f(x)$ 都至少有一点是可导的，后来K.（T.W.）外尔斯特拉斯举出了一个反例：

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n\pi x),$$

式中 $0<a<1$, 而 $b$ 是奇数且

$$ab>1+\frac{3\pi}{2}.$$

它是连续的，而在任何一点处都是不可导的。但Α.当儒瓦、W.Η.杨和S.萨克斯证明了：对 $(a,b)$ 上每点取有限值的实函数，必有勒贝格测度是零的集 $E$，使得对任何 $x\in E$，下面三种情况必有一种出现。

① $f$ 在 $x$ 处有有限导数。

②在 $x$ 处的异侧的某两个导数是同一个有限数;另两个异侧导数必定一个是$+\infty$，另一个是 $-\infty$。

③两个上导数都是 $+\infty$，两个下导数都是 $-\infty$。

由这个定理又可推出如下重要结果：设 $f(x)$ 是 $[a,b]$ 上单调函数，那么除去一个勒贝格测度是零的集 $E$ 外，$\dfrac{\rd f(x)}{\rd x}$ 必定存在且有限。
　　在实变函数论中还考虑可导点集的特征，多元函数的微分问题以及其他的一些导数概念和不同导数之间的关系。
　　实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。 ”

 

——选自《中国大百科全书》