KMP算法及求解next/nextval方法简要推导

其实严蔚敏版《数据结构》的4.3节已经把推导过程讲得很清楚了（不过没讲nextval），个人觉得比算法导论上要好懂。虽然本人也是花了好多时间才搞清楚，原因还是严蔚敏书上的伪码真是太差，而且每次理论看到一半时就想去看伪码，结果还是不懂。这次静下心来把书上理论部分一步步看下来，发现其实挺简单的。
这里自己简要推导下并给出C++实现。网上的教程一搜一大把，这里主要还是便于自己记忆。

next数组含义

如上图所示，朴素匹配算法在匹配失败时，模式串向右移动1位。而KMP匹配则可能向右移动多位，因为灰色部分bcab中cab和ab都是以c和a开头的，不可能与b相等，KMP匹配做了个预处理（即求解next数组），使得能在此时知道移动多少位。
下文中用s表示匹配串，p表示模式串，a[i..j]表示数组a[]的一个闭区间子序列a[i],a[i+1],...,a[j]
当前状态： s[i-k..i-1]=p[0..k-1]，而 s[i]!=p[k]。
则 j=next[k]代表下次将 s[i]和 p[j]进行比较。
既然如此， p[j]的前缀就和 s[i]的前缀必须相同，即 s[i-j..i-1]=p[k-j..k-1]
由于 j，结合当前状态，有 s[i-j..j-1]=p[0..j-1]，因为等号两边分别为 s[i-k..i-1]和 p[0..k-1]的前缀。
因此有 p[0..j-1]=p[k-j..k-1]，问题可以变成求解 p[0..k-1]的前缀=后缀时的最长长度（这话有点绕= =），比如对 "abcab"，最长长度是2，对应此时的前缀和后缀均为 "ab"。

KMP算法实现

size_t search_kmp(const std::string& src, const std::string& pattern, size_t pos = 0) {
    auto next = get_next(pattern);   // 关键!!!
    size_t i = pos;  // 匹配串当前字符序号
    size_t j = 0;  // 模式串当前字符序号
    while (i < src.size() && j < pattern.size()) {
        if (src[i] == pattern[j]) {
            i++;
            j++;
        } else {
            j = next[j];
            // j == -1即整个模式串要与s[i+1..n]进行匹配
            if (j == static_cast(-1)) {
                i++;
                j = 0;
            }
        }
    }
    // -1代表查找失败
    return (j < pattern.size()) ? -1 : (i - pattern.size());
}

从上述代码中可以进一步看到next数组的作用，于是问题关键就在于求解next数组，这也是很多笔试题只要求算next数组的原因。

next数组求解方法

朴素的求法是找到所有等长前缀和后缀，然后一一比较。但无疑这种做法效率极其低下的。这里用数学归纳法可以推导递推式。

1. next[0]=-1，next[1]=0。因为如果模式串第1位p[0]就匹配失败，那么就会向右移动1位，p[0]与s[i+1]比较，等价于p[-1]与s[i]比较。而p[1]匹配失败时，会用p[0]和s[i]进行比较。
2. 设next[k]=j，则有p[0..j]=p[k-j..k]，且不存在更大的j'使得p[0..j ']=p[k-j'..k]。现在求解j'=next[k+1]，分类讨论
   2.1 p[j+1]=p[k+1]，则有p[0..j+1]=p[k-j..k+1]，因此next[k+1]=next[k]+1。
   2.2 p[j+1]!=p[k+1]，这里就是求解next的关键部分了。此时可以把p[0..k+1]看成匹配串，p[k+1-j'..k+1]看出模式串，该模式串等于p[0..j'-1]。因此p[0..j'-2]=p[k-j'..k]，可以用同样的方法来滑动该模式串。
   比如
   
   
   
   现在求解next[6]，可以发现p[2]!=p[6]，然后就可以再比较p[0]和p[6]。

next数组求解实现

inline std::vector get_next(const std::string& pattern) {
    int n = pattern.size();
    if (n == 0)
        return {};
    if (n == 1)
        return { -1 };

    std::vector next(n);
    next[0] = -1;
    next[1] = 0;
    int k = next[1];

    for (int i = 2; i < n; i++) {
        if (pattern[k] == pattern[i - 1]) {
            k = next[i] = next[i - 1] + 1;
        } else {
            while (true) {
                k = next[k];
                if (k == -1 || pattern[k] == pattern[i - 1])
                    break;
            }
            next[i] = ++k;
        }
    }

    return next;
}

注意while语句部分，可以简化成像严蔚敏书上伪码一样，但是不如上面代码那么直观。
至于考题上由于字符串下标一般从1开始，所以next数组的每个值都要加1。

nextval数组

nextval数组和next数组的关系如下

if (p[i] != p[next[i]])
    nextval[i] = next[i];
else
    nextval[i] = nextval[next[i]];

具体nextval为何成立暂时没找到资料，先应付应试吧。