三门问题的一个证明

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？
百度知道给出的答案是正确的：换门，赢的概率是2/3，不换门赢的概率是1/3。下面给出一个证明：
对三个门标号为1，2，3；有无汽车的状态分别标为1和0。那么基本事件（古典概率中的等概率事件）有3个：100, 010, 001。
由对称性，不妨设参赛者选择标号为1的门，由于主持人总是能开启另一个状态为0的门，那么该主持人必然知道每个门的状态。
在2号和3号门中，总是能找到1个门，状态为0。主持人只需要将该门选出。三个基本事件变为：
100 -> 10
010 -> 01
001 -> 01
这里新的事件状态标识为第一个门状态和2、3剩下的那个门的状态。每一个的概率仍为1/3。但后两个状态相同，因此P(10)=1/3, P(01)=2/3。因此P(得汽车|不换门)=P(10)=1/3；P(得汽车|换门)=P(01)=2/3。
QED.