扩展KMP算法

一 问题定义

　　给定母串S和子串T，定义n为母串S的长度，m为子串T的长度，suffix[i]为第i个字符开始的母串S的后缀子串，extend[i]为suffix[i]与字串T的最长公共前缀长度。求出所有的extend[1..n]。容易发现，如果存在某个i，使得extend[i] = m，这便是经典的KMP算法要解决的问题。

二 扩展KMP算法思想

　　和KMP算法的是想类似，充分利用已经比较字符性质来减少冗余的字符比较次数。KMP的思想是充分的利用模式串中所有前缀字串（以模式串为开头的字串）的真前缀和真后缀（指子串的开始字符与子串的最后字符相等的个数）来减少不必要的字符比较，真前缀和真后缀相等的个数保存在next数组中。扩展KMP算法则是利用子串T中的所有后缀子串suffix[i]与字串T的最长公共前缀来减少字符的比较次数，这个最长公共前缀的个数也记录在next数组中。

　　假设我们已经求出了extend[0..k]并且记录了a和p，p表示在S串中从第i（i=0..k）个字符开始匹配的过程中达到的最远的位置，a表示取p这个最大值所对应的i值。现在求extend[k+1]，可以分下面三种情况：

1. k+1==p(p肯定是大于或等于k+1的)
   　直接S[k+1]与T[0]开始比较，并更新a和p的值
2. k + 1 + next[k - a + 1] <= p
   　extend[k+1] = next[k - a + 1]
3. k + 1 + next[k - a + 1] > p
       直接S[p]与T[p - k -1]开始比较，extend[k+1]也对应的从p - k - 1开始往后加，并更新a和p的值

　　对于第二种和第三种情况怎么得到的呢？这就要靠我们保存的a和p了。如果p > k + 1，那么必然有S[k+1,p-1] = T[k-a+1,p-a]，这个可以通过S[a,p-1] = T[0,p-a]推出。我们在next[k-a+1]中保存了T的suffix[k-a+1]子串与T的最长公共前缀的长度，假设L=next[k-a+1]，那么T[k-a+1,k-a+L]=T[0,L-1]。如果k+1+L<= p，通过S[k+1,p-1] = T[k-a+1,p-a]，可以得到S[k+1,k+L]=T[k-a+1,k-a+L]=T[0,L-1]，并且S[k+L+1]!=T[0,L]的（因为如果相等的话，T[k-a+1,k-a+L+1]=T[0,L]，这与前面的T[k-a+1,k-a+L]=T[0,L-1]是矛盾的），所以extend[k+1]=L。如果k+1+L> p，那么S[k+1,p-1] = T[k-a+1,p-a]=T[0,p-k-2]，所以extend[k+1]至少等于p-k-1，然后我们应该继续从p开始比较，因为从p开始都是没有比较过的。

　　求next的思路和求extend的思路是一样的，只不过是T对自己求extend。

三 扩展KMP算法实现

#define MAXSIZE 400005
int extend[MAXSIZE], next[MAXSIZE];

void get_next(char *t, int n)
{
    int a, p, k, i;

    next[0]    = 0;
    a = 0;
    p = 1;
    for (k = 1; k < n; k++)
    {
        if (k == p)    
        {
            i = k;
            while (t[i] == t[i - k])
                i++;
            next[k] = i - k;
            if (i == p)
                p++;
            else
                p = i;
            a = k;
        }
        else if (k + next[k - a] <= p)
            next[k] = next[k - a];
        else
        {
            next[k] = p - k;
            i = p;
            while (t[i] == t[i - k])
            {
                i++;
                next[k]++;
            }
            if (i > p)
            {
                p = i;
                a = k;
            }
        }
    }
}

void get_extend(char *s, int sn, char *t, int tn)
{
    int a, p, k, i;

    p = a = 0;
    for (k = 0; k < sn; k++)
    {
        if (k == p)    
        {
            i = k;
            while (i - k < tn && s[i] == t[i - k])
                i++;
            extend[k] = i - k;
            if (i == p)
                p++;
            else
                p = i;
            a = k;
        }
        else if (k + next[k - a] <= p)
            extend[k] = next[k - a];
        else
        {
            extend[k] = p - k;
            i = p;
            while (i - k < tn && s[i] == t[i - k])
            {
                i++;
                extend[k]++;
            }
            if (i > p)
            {
                p = i;
                a = k;
            }
        }
    }
}