计算机中的浮点数

前言：说完整数运算，我们来继续说说浮点数运算

1983 年图灵奖获得之之一 ken thompson

浮点数的表示

IEEE 754 标准

32 位机器下，单精度浮点数的表示方法如下：

在机器中这样表示：

• S 是符号位

• Exponent 是阶码

  规格化阶码范围为 0000 0001 (-126) ~ 1111 1110 (127)。

• Significand 是部分尾数

  也就是上图中蓝色的 xxxx 部分。IEEE 754 标准隐藏了最开始的那个 1。也就是说，虽然只有 23 位。但实际上有 24 位

一些特殊的浮点数

• +/-0

• 正负无穷

• 非数

• 非规格化数字

用规格化表示的浮点数有范围，正数最小的值是

• 符号 S：0
• 阶码 E：0000 0001
• 尾数 S：全为 0

得到最小正数：

那么 0~ 就是非规格化的数字。

这一段这样表示（非规格化）：

• 尾数：不全 0
• 阶码：全 0

浮点数的运算

三种运算

这三种运算结果可能产生以下几种情况：

• 阶码上溢：一个正指数超过了最大允许值 => 正负无穷或者溢出

• 阶码下溢：一个负指数超过了最小允许值 => +0/-0

• 尾数溢出：最高有效位有进位 => 需要右规

• 非规格化尾数：数值部分高位为 0 => 需要左规

• 右规或对阶时：右端有效位丢失 => 尾数舍入

IEEE 754 标准规定的五种异常情况：

• 无效运算（无意义）
  • 运算时有一个数字是非有限数
  • 结果无效

• 除以 0（即：无穷大）

• 数太大（阶上溢）：对于单精度浮点数，指阶码 E > 1111 1110

• 数太小（阶下溢）：对于单精度浮点数，指阶码 E < 0000 0001

• 结果不精确（舍入时引起）

上述情况硬件可以捕捉到，因此这些异常可设定让硬件处理，页可设定让软件处理。让硬件处理时，称为硬件陷阱

浮点数加减基本要点

有两点需要注意！

• IEEE 754 规定中间结果必须在右边加 2 个附加位

• IEEE 754 的就近舍入规则

浮点运算单元（FPU）

浮点数运算和整数运算不同，所以运算单元当然不同。早期的浮点处理器是作为 CPU 的「外置协处理器」出现的。x87 FPU 特指与 x86 处理器配套的「浮点协处理器架构」

有以下要点：

• 浮点寄存器采用「栈结构」

  • 深度为 8，宽度为 80 位。即 8 个 80 位的寄存器

  • 名称为 ST(0) ~ ST(7)，栈顶为 ST(0)，编号分别为 0 ~ 7

• 所有浮点运算都按 80 位拓展精度进行

• 浮点数在浮点寄存器和内存之间传送
  • float、double、long double 型的变量在内存中分别用 IEEE 754 单精度、双精度、扩展精度表示，分别占 32 位，64 位，96 位（前 16 位无效）
  • float、double、long double 类型变量在浮点寄存器中都用 80 位拓展精度表示
  • 从浮点寄存器到内存：80 位拓展精度格式转换为 32 位或者 64 位
  • 从内存到浮点寄存器：32 位或者 64 位转换为 80 位扩展精度格式

常见 FPU 指令

• 常见 FPU 指令

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