[Engineering] 工程趣闻（三）：臣妾做不到

哥德尔不完备定理

库尔特·哥德尔（Kurt Friedrich Gödel，1906年4月28日－1978年1月14日），数学家、逻辑学家和哲学家，维也纳学派（维也纳小组）的成员。其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。

哥德尔的数学天分极高，他在维也纳大学时本来修读理论物理和基础数学，后来又在汉斯·哈恩的指导下研习数理逻辑、集合论。二十四岁时，完成哥德尔完备性定理，并获得同校博士学位。

在数理逻辑中，哥德尔不完备定理是库尔特·哥德尔于1931年证明并发表的两条定理。
第一条定理指出：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，就可以在其中构造在体系中不能被证明的真命题。即，通过推演不能得到所有真命题（即体系是不完备的）。
第二条定理指出：任何相容的形式系统，只要蕴涵皮亚诺算术公理，它就不能用于证明它本身的相容性。这个结果破坏了数学中一个称为希尔伯特计划的哲学企图。

通常的形式系统中, 所有公理构成的集合都是递归集。而在一阶逻辑中, 所有定理构成的集合P是一个递归可枚举集，不是递归集。由于递归集当且仅当它和它的补集都是递归可枚举集，所以P的补集就不是递归可枚举集，否则就与P不是递归集矛盾。

递归可枚举集，意味着存在一个算法判定元素属于集合，但如果元素不属于集合则算法不终止。递归集，意味着存在一个总是会终止的算法，判定元素是否属于集合。

既然定理集P的补集P'不是一个递归可枚举集，那么对于一个不可证的命题，就不存在一个算法来判定它属于P'。即，存在一个不可证的命题，但没有算法来判定它是不可证的。然而，它又在P之外，用于判定它是否属于P的算法不会终止。因此，存在一个命题，找不到一个算法来判定它可证，也找不到一个算法来判定它不可证。

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参考

库尔特·哥德尔
哥德尔不完备定理
希尔伯特计划
递归可枚举集合
递归集合
数理逻辑
哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成
Until You Have Productivity Skills, Productivity Tools Are Useless