[数学概念] 贝叶斯定理

一个班级里，有学生50人，30人为女生，20人为男生。20岁的一共35人，20岁的女生25人。
事件X: 是女生。
事件Y：是20岁。

随便挑一个学生，是女生的概率：
\[ p(X) = \frac{30}{50}=0.6 \tag{1} \]

随便挑一个学生，是20岁的概率：
\[ p(Y) = \frac{35}{50} = 0.7 \tag{2} \]

随便挑一个学生，是20岁的女生的概率：
\[ p(XY) = \frac{25}{50}=0.5 \tag{3} \]

随便挑一个女学生，其为20岁的概率：

\[ p(Y|X) = \frac{p(XY)}{p(X)} = \frac{0.5}{0.6}=0.833 = \frac{25}{30} \tag{4} \]

随便挑一个20岁的学生，其为女生的概率：

\[ p(X|Y) = \frac{p(XY)}{p(Y)} = \frac{0.5}{0.7}=0.714 = \frac{25}{35} \tag{5} \]

贝叶斯定理：

\[ p(X|Y)=\frac{p(X)p(Y|X)}{p(Y)} \tag{6} \]

数值推导：

\[ p(X|Y) = \frac{p(X)p(Y|X)}{p(Y)} = \frac{0.6 \times 0.833}{0.7} = 0.714 \tag{7} \]

公式7与公式5的计算结果相同，证明了公式6的正确性。