先来详细的讲一下EM算法。
前提准备
Jupyter notebook 或 Pycharm
火狐浏览器或Chrome浏览器
win7或win10电脑一台
网盘提取csv数据
需求分析
实现高斯混合模型的 EM 算法(GMM_EM)
高斯混合模型是多个高斯模型的线性叠加而成的，高斯混合模型的概率分布表示如下：
其中，k表示模型的个数，αkα_kαk 是第 k 个模型的系数，表示出现该模型的概率，ϕ(x;μk,Σk) 是第 k 个高斯模型的概率分布。
E步：样本 xix_ixi来自于第 k 个模型的概率，我们把这个概率称为模型 k 对样本 xix_ixi 的“责任”，也叫“响应度”，记作 γ(ik)γ_(ik)γ(ik)，计算公式如下：
M步：根据样本和当前 γ 矩阵重新估计参数，注意这里 x 为列向量
【目标】给定一堆没有标签的样本和模型个数 K，以此求得混合模型的参数，然后就可以用这个模型来对样本进行聚类。
python代码如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import multivariate_normal #本问题考虑的是高斯混合模型，所以导入多元高斯分布multivariate_normal
def prob_Y_k(Y,mu_k,cov_k): #Y为样本矩阵
norm = multivariate_normal(mean = mu_k , cov = cov_k) #生成多元正太分布，mu为第k个模型的均值，cov为第k个模型的协方差矩阵(协方差矩阵必须是实对称矩阵)
return norm.pdf(Y) #返回样本Y来自于第k个模型的概率
def Estep(Y,mu,cov,alpha): #Y为样本矩阵，alpha为权重
N = Y.shape[0] #样本数
K = alpha.shape[0] #模型数
assert N>1 , "There must be more than one sample!" #为避免单个样本导致返回的结果的类型不一致，因此要求样本数必须大于一
assert K>1 , "There must be more than one gaussian model!" #为避免单个模型结果的类型不一致，因此要求模型须大于一
gamma = np.mat(np.zeros((N,K))) #初始化响应度矩阵，行对应样本数，列对应模型数
prob = np.zeros((N,K)) #初始化所有样本出现的概率矩阵，行对应样本数，列对应响应度
for k in range(K):
prob[:,k] = prob_Y_k(Y,mu[k],cov[k]) #第k个模型的概率prob_Y_k
prob = np.mat(prob) #K个prob放入数组中
for k in range(K):
gamma[:,k] = alpha[k] * prob[:,k] #计算模型k对样本i的响应度
for i in range(N):
gamma[i,:] /= np.sum(gamma[i,:]) #第i个样本的占总样本的响应程度
return gamma #gamma为响应度矩阵
def Mstep(Y,gamma): #传入样本矩阵Y和Estep得到的gamma响应度矩阵
N, D = Y.shape #N为样本数，D为特征数
K = gamma.shape[1] #模型数
mu = np.zeros((K,D)) #初始化参数均值mu，每个模型的D维各有均值故mu的矩阵为K行D列
cov = [] #初始化参数协方差矩阵
alpha = np.zeros(K) # 初始化权重数组，每个模型都有权值
#接下来是更新每个模型的参数
for k in range(K):
Nk = np.sum(gamma[:,k]) #第k个模型所有样本的响应度之和
mu[k,:] = np.sum(np.multiply(Y, gamma[:,k]),axis=0)/Nk #更新参数均值mu，对每个特征求均值
cov_k = (Y - mu[k]).T * np.multiply((Y - mu[k]), gamma[:,k]) / Nk #更新cov
cov = np.append(cov_k)
alpha[k] = Nk / N
cov = np.array(cov)
return mu, cov, alpha
def normalize_data(Y): #将所有数据进行归一化处理，
for i in range(Y.shape[1]):
max_data = Y[:,i].max()
min_data = Y[:,i].min()
Y[:,i] = (Y[:,i] - min_data)/(max_data - min_data) #此处用到min-max归一化
debug("Data Normalized")
return Y
def init_params(shape,K): #在执行该算法之前，需要先给出一个初始化的模型参数。我们让每个模型的μ为随机值,Σ 为单位矩阵，α 为 1/K，即每个模型初始时都是等概率出现的。
N, D = shape
mu = np.random.rand(K, D) #生成一个K行D列的[0,1)之间的数组
cov = np.array([np.eye(D)] * K) #生成K个D维的对角矩阵
alpha = np.array([1.0 / K] * K) #生成K个权重
debug("Parameters initialized.")
debug("mu:",mu, "cov:",cov ,"alpha:",alpha,sep = "\n" )
return mu, cov, alpha
def GMM_EM(Y, K, times): #高斯混合EM算法,Y为给定样本矩阵，K为模型个数，times为迭代次数，目的是求该模型的参数
Y = normalize_data(Y) #调用前面定义的normalize_data函数，归一化样本矩阵Y
mu, cov, alpha = init_params(Y.shape, K) #调用init_params函数得到初始化的参数mu,cov,alpha
for i in range(times):郑州妇科医院 http://m.zyfuke.com/
gamma = Estep(Y, mu, cov, alpha) #调用Estep得到响应度矩阵
mu, cov, alpha = Mstep(Y, gamma) #调用Mstep得到更新后的参数mu,cov,alpha
debug("{sep} Result {sep}".format(sep="-"*20))
debug("mu:", mu , "cov:",cov , "alpha:",alpha , sep="\n")
return mu,cov,alpha
import matplotlib.pyplot as plt
from gmm import *
DEBUG = True
Y = np.loadtxt("gmm.data") #载入数据
matY = np.matrix(Y ,copy = True)
K = 2 #模型个数(相当于聚类的类别个数)
mu, cov, alpha = GMM_EM(matY , K , 100) #调用GMM_EM函数，计算GMM模型参数
N = Y.shape[0]
gamma = Estep(matY, mu, cov, alpha) #求当前模型参数下，各模型对样本的响应矩阵
category = gamma.argmax(axis = 1).flatten().tolist()[0] #对每个样本，求响应度最大的模型下标，作为其类别标识
class1 = np.array([Y[i] for i in range(N) if category[i] == 0]) #将每个样本放入对应样本的列表中
class2 = np.array([Y[i] for i in range(N) if category[i] == 1])
plt.plot(class1[:,0],class1[:,1], 'rs' ,label = "class1")
plt.plot(class2[:,0],class2[:,1], 'bo' ,label = "class2")
plt.legend(loc = "best")
plt.title("GMM Clustering By EM Algorithm")
plt.show()
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
cov1 = np.mat("0.3 0 ; 0 0.1") #2维协方差矩阵(必须是对角矩阵)
cov2 = np.mat("0.2 0 ; 0 0.3")
mu1 = np.array([0,1])
mu2 = np.array([2,1])
sample = np.zeros((100,2)) #初始化100个样本，样本特征为2
sample[:30, :] = np.random.multivariate_normal(mean=mu1, cov=cov1, size=30) #生成多元正态分布矩阵
sample[30:, :] = np.random.multivariate_normal(mean=mu2, cov=cov2, size=70)
np.savetxt("sample.data",sample) # 将array保存到txt文件中
plt.plot(sample[:30, 0], sample[:30, 1], "bo") #30个样本用蓝色圆圈标记
plt.plot(sample[30:, 0], sample[30:, 1], "rs") #70个样本用红色方块标记
plt.title("sample_data")
plt.show()