这次主要来说一下\(FWT\)
我们知道\(FFT\)是一种变换。
我们要构造的\(FWT\)也是一种变换。
\(FWT\)是用来干什么的呢？
用来求位运算卷积。
或许这么说还是不够明确。
我们定义卷积是这样一个东西：
\[c_k=\sum\limits_{i\circ j}a_ib_j\]
里面那个圈表示一种运算。
普通卷积就是\(+\)
狄利克雷卷积就是\(*\)
子集卷积就是\(\subseteq\)
那么位运算卷积呢？
\(and,or,xor\)
其实\(and\)和\(or\)还是比较简单的，而\(xor\)是最难的。
1.\(or\)卷积
我们要求这种形式的卷积：
\[c_k=\sum\limits_{i\ or\ j=k}a_ib_j\]
我们设我们的变换为\(T(A)\)，逆变换为\(IT(A)\)。
这个变换按照\(FFT\)的套路来说的话，需要满足：
T(AB)=T(A)T(B)
AB=IT(T(A)T(B))
也就是卷积变成对位乘法。
如果这样构造的话（其实我也不知道怎么想到这么造的）：
\[T(A)_j=\sum\limits_{i\ or\ j=j}A_i\]
那么我们展开一下上面的卷积:
\[T(A*B)_i=\sum\limits_{j\ or\ i=i}\sum\limits_{k\ or\ l=j}A_kB_l=\sum\limits_{k\ or\ l\subseteq i}A_kB_l\]
\[(T(A)T(B))_i=\sum\limits_{k\ or\ i=i}A_K\sum\limits_{l\ or\ i=i}B_l=\sum\limits_{k\ or\ l\subseteq i}A_kB_l\]
所以说是对的。
下面说怎么计算\(or\)卷积。
我们考虑这个东西的转移是怎么样的。
首先假设\(A\)的两半\(A_0\)和\(A_1\)的变换已经计算出来了，我们现在来求\(A\)的变换。
我们设\(merge(A,B)\)为连接两个数组的函数。
那么：
\[T(A)=merge(T(A_0),T(A_0)+T(A_1))\]
为什么呢？
因为当前这一位最高位为0的情况属于为1的情况的子集，所以把\(A_0\)加到\(A_1\)那边去就可以了。
逆变换就显然了。
\[IT(A)=merge(IT(A_0),IT(A_1)-IT(A_0))\]
减回去就完了。
2.\(and\)卷积
我们要求这种形式的卷积。
\[c_k=\sum\limits_{i\ and\ j=k}a_ib_j\]
同样构造变换\(T\)
考虑这样的变换：
\[T(A)_i=\sum\limits_{i\ and\ j=i}a_j\]
展开一下：
\[T(A*B)_i=\sum\limits_{i\ and\ j=i}\sum\limits_{k\ and\ l=j}A_kB_l=\sum\limits_{i\subseteq k\ and\ l}A_kB_l\]
\[(T(A)T(B))_i=\sum\limits_{k\ and\ i=i}\sum\limits_{l\ and\ i=i}A_kB_l=\sum\limits_{i\subseteq k\ and\ l}A_kB_l\]
得到了点值对乘的式子了。
类似或卷积。
\[T(A)=merge(T(A_0)+T(A_1),T(A_1))\]
\[IT(A)=merge(IT(A_0)-IT(A_1),IT(A_1))\]
3.\(xor\)卷积
这里复读一下\(rvalue\)学长（姐）的讲解。（其实是我想不出其他的证明方法）
对于一个二进制数\(x\)，我们设\(d(x)\)为其二进制\(1\)个数的奇偶性。
那么有如下结论：
\[d(i\ and\ k)\ xor\ d(j\ and\ k)=d((i\ xor\ j)\ and\ k)\]
首先\(and\ k\)相当于没有，这就是改变二进制位数的区别。
剩下的很显然。
\(i\)每次多出来一个\(1\),总体的\(1\)的奇偶性就会变化。
尝试构造如下变换：
\[T(A)_i=\sum\limits_{d(i\ and\ j)=0}A_j-\sum\limits_{d(i\ and\ j)=1}A_j\]
展开一下：
\[T(A*B)_i=\left(\sum\limits_{d(i\ and\ j)=0}\sum\limits_{k\ xor\ l=j}A_kB_l\right)-\left(\sum\limits_{d(i\ and\ j)=1}\sum\limits_{k\ xor\ l=j}A_kB_l\right)\]
\[\begin{aligned}\\ (T(A)T(B))_i&=\left(\sum\limits_{d(i\ and\ j)=0}A_j-\sum\limits_{d(i\ and\ j)=1}A_j\right)\left(\sum\limits_{d(i\ and\ j)=0}B_j-\sum\limits_{d(i\ and\ j)=1}B_j\right)\\ &=\left(\sum\limits_{d(a\ and\ i)\ xor\ d(b\ and\ i)=0}A_aB_b\right)-\left(\sum\limits_{d(a\ and\ i)\ xor\ d(b\ and\ i)=1}A_aB_b\right)\\ &=\left(\sum\limits_{d((a\ xor\ b)\ and\ i)=0}A_aB_b\right)-\left(\sum\limits_{d((a\ xor\ b)\ and\ i)=1}A_aB_b\right)\\ &=\left(\sum\limits_{d(i\ and\ j)=0}\sum\limits_{k\ xor\ l=j}A_kB_l\right)-\left(\sum\limits_{d(i\ and\ j)=1}\sum\limits_{k\ xor\ l=j}A_kB_l\right)\\ \end{aligned}\]
卷积性变换构造的是对的了。
考虑该怎么计算。
\[T(A)=merge(T(A_0)+T(A_1),T(A_0)-T(A_1))\]
如果最高位为0的话，那么无论如何这个\(and\)运算都是0，不会改变贡献。
直接在左边即可。
如果最高位为1的话，对于右侧的值会产生多一个1的贡献，这样会导致奇偶性取反，所以取反加上去。
逆变换的话：
\[IT(A)=merge(\frac{IT(A_0)+IT(A_1)}{2},\frac{IT(A_0)-IT(A_1)}{2})\]
这样的话就可以快速求位运算卷积了