9.6偏序关系

9.6偏序关系(Partial Order)

偏序(Partial Order)

定义:

• 偏序(Partial order)：定义在A上的集合R是偏序关系iff(当且仅当)其具有以下性质:

1. 自反性(reflexive)
2. 反对称性(antisymmetric)
3. 传递性(transtive)

NOTE: R记作≼，注意这里的≼不必是指一般意义上的“小于或等于”,
若有x≼y，我们也说x排在y前面（x precedes y).

• 偏序集(Partially ordered set)/(或简写为poset): 集合A及定义在其上的偏序关系R一起称为偏序集，记作(A, R)，A中的元素也称为偏序集中的元素.

线序/全序(Linear Order)

• 如果(A, ≤)是一个偏序集(poset)，那么对于其中的元素a和b,
  1. a≤b 或者 b≤a,那么称为可比的(Comparable)
  2. 即不存在a≤b，也不存在b≤a,那么称为不可比的(Imcomparable)

如果偏序集A中每对元素(every pair of elements)都是可比的，那么我们就称A是线序集合(linearly ordered set)或全序集合(totally ordered set),称偏序关系R为线序或全序关系(linear order). 我们也称A为链(chain).

良序集(Well-ordered set)

定义:

设集合(S,≤)为一全序集，≤是其全序关系，若对任意的S的非空子集，在其序下都有最小元素，则称≤为良序关系，(S,≤)为良序集。

拟序(Quasiorder)

定义:定义在A上的关系R是拟序关系iff其具有以下关系

1. 反自反性(irreflexive)
2. 传递性(transitive)

NOTE:满足反对称性的拟序关系就称为偏序关系

乘积偏序(Product Partial Order)

如果(A, ≤)和(B, ≤)都是偏序集，那么他们的笛卡尔积也是个偏序集，其偏序关系≤被定义为:

• 如果在A中有a ≤ a^'，在B中有b ≤ b^'，那么(a, b) ≤ (a^', b^')

词典顺序(Lexicographic Order)

对于一个乘积偏序，
(a, b) ＜ (a^', b^')在a ＜ a^'(或a == a^'并且b ＜ b^')时成立
那么我们称其为词典顺序(Lexicographic Order)或字典序(“dictionary” order)

哈斯图(Hasse Diagram)

• 哈斯图是有限集A上的偏序图，并且:

• 删除了所有的自环(self-cycles)
• 消除了由传递性生成的边
• 自底向上的制图

设(S, ≤)是一个poset. 若x＜y且不存在元素z∈S，使得x＜z＜y，则称y∈S覆盖x∈S.而y覆盖x的有序对(x, y)的集合也称为(S, ≤)的覆盖关系.可以看出，(S, ≤)的哈斯图的边与其覆盖关系是一一对应的.

同构(Isomorphism)

对应原理(Principle of Correspondence)

两个有限同构偏序集必定具有相同的Hasse图.

拓扑排序(Topological Sorting)

极大元(maximal element)和极小元(minimal element)

定义:

偏序集中的一个元素称为极大(小)元，当它不小(大)于这个偏序集中的任何其他元素, 利用哈斯图很容易判别它们就是图中的"顶"("底")元素

极大(小)元一定存在，且可能是不唯一的

最大元(greatest element)和最小元(least element)

定义:

如果在偏序集中存在一个元素大(小)于任何其他的元素，那么称这样的元素为最大(小)元

最大(小)元可能不存在，若存在则唯一

最小上界(least upper bound)和最大上界(greatest lower bound)

定义:

如果存在一个元素u(l)∈S，使得对于偏序集(S, ≤)的子集A中的所有元素a，有a≼u(l≼a)，那么称u(l)为A的一个上(下)界，如果u(l)是所有上(下)界中最小(大)的，就叫最小上界(LUB)(最大下界(GLB))

上界的最小元就叫最小上界；下界的最大元叫最大下界

拓扑排序(Topological Sorting)

定义:

对一个有向无环图DAG(Directed Acyclic Graph)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若边∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(Topological Order)的序列，简称拓扑序列。

NOTE:有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说

输出一个拓扑序列的常用算法实现:

1. 从 DAG 图中选择一个没有前驱（即入度为0的顶点)并输出。
2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边并更新其他点的入度。
3. 重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

于是，得到拓扑排序后的结果是 { 1, 2, 4, 3, 5 }.

• 通常，一个有向无环图可以有一个或多个拓扑排序序列.
  
• 每次在入度为0的集合中取顶点，并没有特殊的取出规则，所以得到的拓扑排序也是随机的，如果对取出顶点顺序有要求，可以用优先队列.
  
• 我们可以通过对一个有向图进行拓扑排序，来判断是否存在环(存在拓扑序列则无环，不存在则有环)

参考链接

格(lattice)

定义:

如果一个偏序集的每对元素都有最小上界和最大上界，那么就称这个偏序集为格

如下例子:(c), (f), (g)不是格，其余都是

OTHERS

1.两个格的笛卡尔乘积也是格

2.格L的子集，如果还是格，就称为L的子格
3.两个格同构，我们称它们为同构格(哈斯图相同)
4.如果一个格既有最大元，也有最小元，我们就称其为有界格
5.满足分配律:

这样的格我们称为分配格(Distributive lattice)，否则称为非分配格(Nondistributive lattice)
6.补元(Complement):

• a的补元需满足:

特别地:0' = I, I' = 0
Note:补元若存在，可能不唯一
如果一个格的所有元素均有补元在格中，我们就说它是补格(Complemented)，否则不是补格