图-Graph

基本概念

• 数据元素之间是一种多对多的关系，用罗辑边标识元素之间的关系；
• 线性表中数据称为 元素，树中将元素称为 结点，图中数据元素称为 顶点(vertex)，线性表可以为空表，树可以为空树，但是图 不允许有空结点；
• 顶点 有穷 非空集合和顶点之间的边组成；
• G(V,E) G: 表示一个图，V: 表示顶点集合，E: 表示边的集合；

简单图

• 不存在顶点到自身的边；
• 同一条边不重复出现；
• 是我们要讨论的图；

无向图

• 顶点之间边 无方向 的边称为 无向边 (A,B)；
• 图中任意两个顶点之间的边都是无向边，称该图为 无向图；
• 无向图中，任意两个顶点都存在边，称该图为 无向完全图；
• 无向完全图有 (n*(n-1))/2 条边，n代表顶点数；
• 无向图顶点的度TD：
  • 和顶点相关的边的数目; TD=各顶点度的和；
  • 边的数量 e=(1/2)*TD

有向图

• 顶点之间的边 有方向 的边称为 有向边或弧（Arc） ；
• 图中任意两个顶点之间的边都是有向边，称该图为 有向图；
• 图中任意两个顶点都存在方向 互为相反的两条弧，称该图为 有向完全图；
• 有向完全图有 n*(n-1) 条边，n代表顶点数；
• 有向图顶点的度TD是各个顶点入度数+出度数之和：
  • 度（TD）= 入度（ID）+出度（OD）;
  • 边的数量＝ID = OD;

网

• 与图的边或弧相关的数叫做 权；
• 带权的图称为 网；

路径

• 路径长度：路径上的边或弧的数量；

• 回路或环（cycle）：路径中第一个顶点和最后一个顶点是同一个顶点；

• 简单路径：顶点不重复出现的路径；

• 简单回路（简单环）：除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其他顶点不不重复的回路；

连通图：

• 无向图：
  • 连通：两个顶点间存在路径，称为这两个顶点是连通的；
  • 连通图：图中任意两个顶点都是连通的；
  • 连通分量：极大连通子图；
  • 子图
  • 子图要连通
  • 连通子图含有极大顶点数；
  • 连通子图含有极大边数；
  • 连通分量再加入一个原图顶点或边就不连通了；
• 有向图：
• 强连通图：图中任意顶点A,B A!=B, 存在A到B和B到Ａ的路径；
• 强连通分量：极大连通子图

生成树

• 无向图中连通并且有ｎ个顶点，n-1条边叫 生成树；
• 有向图中一顶点入度为０，其他各个顶点入度为１的叫 有向树；

存储结构

邻接矩阵

• 一个一维数组存顶点；
• 一个二维数组存图中的边/弧的信息（邻接矩阵）；
• arc[1][3] = 0; v1到v3不存在边；
• arc[2][4] = 1; v2到v4存在边；
• 如果是网则　arc[i][j] = 权值；
• 无向图顶点vi的度＝矩阵中第ｉ行或第ｉ列中值的和；
• 有向图顶点vi的 入度＝矩阵中vi 列 的各数之和；
• 有向图顶点vi的 出度＝矩阵中vi 行 的各数之和；

邻接表

• 对于边数相对较小的图，邻接矩阵会存在浪费空间的情况；
• 邻接表：顶点存在一个一维数组中；
• 无向图边表：某一顶点所有邻接点构成一个单链表；( 有向图分出边表和入边表（逆邻接表） )；

十字链表

• 把邻接表和逆邻接表整合在一起；
• 为 有向图 设计；
• 一维数组+单链表；

邻接多重表

• 优化无向表的邻接表结构；
• 同一条边在邻接表中用 两个结点 表示；
• 同一条边在邻接多重表中用 一个结点 表示；
• 一维数组+单链表；

边集数组

• 由两个一维数组构成，（一个存顶点信息，另一个存边的信息）；
• 适合对对边的处理；