HMM简介
对于算法爱好者来说,隐马尔可夫模型的大名那是如雷贯耳。那么,这个模型到底长什么样?具体的原理又是什么呢?有什么具体的应用场景呢?本文将会解答这些疑惑。
本文将通过具体形象的例子来引入该模型,并深入探究隐马尔可夫模型及Viterbi算法,希望能对大家有所启发。
隐马尔可夫模型(HMM,hidden Markov model)是可用于标注问题的统计学模型,描述由隐藏的马尔可夫链随机生成观测序列的过程,属于生成模型。HMM模型在实际的生活和生产中有着广泛的应用,包括语音识别,自然语言处理,生物信息,模式识别等领域。
引入
某天,你的女神告诉你说,她放假三天,将要去上海游玩,准备去欢乐谷、迪士尼和外滩(不一定三个都会去)。
她呢,会选择在这三个地方中的某几个逗留并决定是否购物,而且每天只待在一个地方。根据你对她的了解,知道她去哪个地方,仅取决于她去的上一个地方,且是否购物的概率仅取决于她去的地方。已知她去的三个地方的转移概率表如下:
稍微对这个表格做些说明,比如第一行,前一天去了欢乐谷后,第二天还待在欢乐谷的概率为0.8,去迪士尼的概率为0.05,去外滩的概率为0.15。
她在每个地方的购物概率为:
地点 | 购物概率 |
---|---|
欢乐谷 | 0.1 |
迪士尼 | 0.8 |
外滩 | 0.3 |
在出发的时候,她跟你说去每个地方的可能性相同。后来,放假回来后,你看了她的朋友圈,发现她的购物情况如下:第一天不购物,第二三天都购物了。于是,你很好奇,她这三天都去了哪些地方。
怎么样,聪明的你能求解出来吗?
HMM的模型参数
接下来,我们将会介绍隐马尔可夫模型(HMM)。
隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型,描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列,再由各个状态生成一个观测而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔可夫链随机生成的状态的序列,称为状态序列;每个状态生成一个观测,而由此产生的观测的随机序列,称为观测序列。序列的每一个位置又可以看作是一个时刻。
隐马尔可夫模型由初始概率分布、状态转移概率分布以及观测概率分布确定。隐马尔可夫模型的形式定义如下:
设Q是所有可能的状态的集合,V是所有可能的观测的集合,也就是说,Q是不可见的,而V是可见的,是我们观测到的可能结果。
其中,N是可能的状态数,M是可能的观测数。
在刚才的例子中,Q是不可见的状态集合,应为,而V是可以观测的集合,应为V={购物,不购物}。
I是长度为T的状态序列,O是对应的观测序列。
在刚才的例子中,I这个序列是我们需要求解的,即女生去了哪些地方,而O是你知道的序列,O={不购物,购物,购物}。
A是状态转移概率矩阵:
是在时刻t处于状态q_i的条件下在时刻t+1转移到状态q_j的概率。在刚才的例子中,转移概率矩阵为:
B是观测概率矩阵:
其中,
是在时刻t处于状态q_j的条件下生成观测v_k的概率。在刚才的例子中:
是初始状态概率向量
,其中
是时刻t=1处于状态q_j的概率。在刚才的例子中,
综上,我们已经讲完HMM中的基本概念。同时,我们可以知道,隐马尔可夫模型由初始状态概率向量,状态转移概率矩阵A,和观测概率矩阵B决定。
和A决定状态序列,B决定观测序列。因此,隐马尔可夫模型
可用三元符号表示,即
当然,隐马尔可夫模型之所以被称为马尔可夫模型,是因为它使用了两个基本的假设,其中之一为马尔可夫假设。它们分别是:
-
齐次马尔科夫假设,即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻t的状态只依赖于其前一时刻的状态,与其他时刻的状态及观测无关,也与时刻t无关。
-
观测独立性假设,即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态,与其他观测及状态无关。
在刚才的假设中,我们对应的两个假设分别为:她去哪个地方,仅取决于她去的上一个地方;是否购物的概率仅取决于她去的地方。前一个条件为齐次马尔科夫假设,后一个条件为观测独立性假设。
以上,我们就介绍了HMM的基本概念及假设。而HMM的三个基本问题如下:
1. 概率计算问题。给定模型和观测序列
,计算在模型
下观测序列O出现的概率
.
2. 学习问题。已知观测序列,估计模型
参数,使得在该模型下观测序列概率
最大。
3. 预测问题。已知模型和观测序列
,求对给定观测序列条件概率
最大的状态序列
即给定观测序列,求最有可能的对应的状态序列。
上面的例子即为HMM的第三个基本问题,也就是,给定观测序列{不购物,购物,购物},结果最有可能的状态序列,即游玩的地方。
Viterbi算法
求解HMM的第三个基本问题,会用到大名鼎鼎的维特比算法(Viterbi Algorithm)。
维特比算法以安德鲁·维特比(Andrew Viterbi)命名,是现代数字通信中最常用的算法,同时也是很多自然语言处理采用的解码算法。可以毫不夸张地讲,维特比是对我们的生活影音力最大的科学家之一,因为基于CDMA的3G移动通信标准主要就是他和厄文·雅各布(Irwin Mark Jacobs)创办的高通公司(Qualcomm)指定的。
维特比算法是一个特殊但应用最广的动态规划(dynamic programming)算法,利用动态规划,可以解决任何一个图中的最短路径问题,同时,它也是求解HMM描述的第三个基本问题的算法。
在维特比算法中,需要引入两个变量和
。定义在时刻t状态i的所有单个路径
中概率最大值为
定义在时刻t状态为i的所有单个路径中概率最大的路径的第i-1个节点为
下面是维特比算法在HMM的第三个基本问题的算法:
Python代码实现
# -*- coding: utf-8 -*-
# HMM.py
# Using Vertibi algorithm
import numpy as np
def Viterbi(A, B, PI, V, Q, obs):
N = len(Q)
T = len(obs)
delta = np.array([[0] * N] * T, dtype=np.float64)
phi = np.array([[0] * N] * T, dtype=np.int64)
# 初始化
for i in range(N):
delta[0, i] = PI[i]*B[i][V.index(obs[0])]
phi[0, i] = 0
# 递归计算
for i in range(1, T):
for j in range(N):
tmp = [delta[i-1, k]*A[k][j] for k in range(N)]
delta[i,j] = max(tmp) * B[j][V.index(obs[i])]
phi[i,j] = tmp.index(max(tmp))
# 最终的概率及节点
P = max(delta[T-1, :])
I = int(np.argmax(delta[T-1, :]))
# 最优路径path
path = [I]
for i in reversed(range(1, T)):
end = path[-1]
path.append(phi[i, end])
hidden_states = [Q[i] for i in reversed(path)]
return P, hidden_states
def main():
# 状态集合
Q = ('欢乐谷', '迪士尼', '外滩')
# 观测集合
V = ['购物', '不购物']
# 转移概率: Q -> Q
A = [[0.8, 0.05, 0.15],
[0.2, 0.6, 0.2],
[0.2, 0.3, 0.5]
]
# 发射概率, Q -> V
B = [[0.1, 0.9],
[0.8, 0.2],
[0.3, 0.7]
]
# 初始概率
PI = [1/3, 1/3, 1/3]
# 观测序列
obs = ['不购物', '购物', '购物']
P, hidden_states = Viterbi(A,B,PI,V,Q,obs)
print('最大的概率为: %.5f.'%P)
print('隐藏序列为:%s.'%hidden_states)
main()
输出结果如下:
最大的概率为: 0.02688.
隐藏序列为:['外滩', '迪士尼', '迪士尼'].
现在,你有很大的把握可以确定,你的女神去了外滩和迪士尼。
参考文献
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一文搞懂HMM(隐马尔可夫模型):https://www.cnblogs.com/skyme/p/4651331.html
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李航《统计学习方法》 清华大学出版社
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HMM与分词、词性标注、命名实体识别:http://www.hankcs.com/nlp/hmm-and-segmentation-tagging-named-entity-recognition.html
-
Hidden Markov Models 1: http://docplayer.net/21306742-Hidden-markov-models-1.html
-
吴军 《数学之美》 人民邮电出版社