每天一个TopCoder算法题（16.08.17）

这个题目来自TopCoder SRM692 250分的题目

原题

srm692_250.png

题意：

现在有一个图，图上面有一些点，第i点跟第j点的距离为dist[i][j]。现在我们可以去掉一些边，让这个图仍然是强联通图。并且图中最大的边与最小的边差距最小。
这个图的点的个数2 <= n <= 50
提示：强联通图中的任意两点都可以互相到达。

Key1:

解决这种求某个区间最大或者最小的问题，我们通常可以采用枚举区间的方法，即枚举区间的左边界与右边界来解决问题。
当我们确定区间之后，我们就能去掉图中不在这个区间的边，然后判断是否为强联通。

Key2：

求区间的题目，区间的左右边界一般是题目给定的某些数据。
例如在这个题目中，区间的左右边界一定是某条边！（这个显而易见，如果有一条边为11，右边界11跟11.5都可以用到这条边，很明显11更优。）

思考：

这个题目首先要考虑的是如何判断一个图是强联通图，这里我们先讲一种暴力的解决方法。
枚举每一个点，判断这个点能否到达图中的其它点。 时间复杂度（NxN）
我们枚举左右边界，总共有50x50=2500条边，那么复杂度为50x50x50x50，加上上面的判断，总复杂度为50^6 = 1.5 x 10^10。
我们来探讨有没有更优的解决方法，我们将边的大小从小到大排序后，我们发现了这么一个特殊的性质。

692.jpg

假如当左边界确定为L1的时候，右边界为R1可以找到一个合法的解，那么，无需再找下一个右边界！（想一想为什么）
那么，当左边界变为L2时，右边界R2的位置一定>=R1.(假设R'小于R1,因为[L1,R']无解，所以[L2,R']无解)也就是存在单调性！
在这个的基础上，我们不再需要去用两个for枚举左右边界了。可以把复杂度降到 O(50^4)。

总结

在一些区间问题上，需要用多个for去枚举，我们应该用心观察，看看是否有单调的性质！可以进行降维！