斐波那契数列的递归与尾递归

引言

之前在lintcode上刷算法入门题，366题是求斐波那契数列，当时就想用递归应该很快就ac了，最后递归是没写错，但是提交报时间超限了，也就引出了这篇文章——尾递归。

测试

先来看一下，常规的斐波那契递归写法，假设第一项为0，第二项为1：

public int fibonacci(int n) {
    if(n == 1) {
        return 0;
    }
    if(n == 2) {
        return 1;
    }
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

测试第40项的耗时结果为：

斐波那契的尾递归写法：

public int lastFibonacci(int n, int ret1, int ret2) {
    if(n == 1) {
        return ret1;
    }
    return lastFibonacci(n - 1, ret2, ret1 + ret2);
}

测试尾递归求第40项的耗时结果为：

可以看到当求到比较后面的项时，尾递归还是要快很多的。

分析总结

下面就来分析下尾递归到底快在了哪里

正常递归

对于斐波那契数列的正常递归，有点类似于二叉树的结构，我以f(6)为例，看下图

可以看到递归计算第6项时，需要重复计算两次f(4)，三次f(3)，以二叉树的结构向下延伸，如测试的例子所示，当计算到第40项时，会有36项都需要重复计算，且越往下，重复次数越多，效率也很低下。

尾递归

尾递归快就快在它不需要重复计算某一项，利用了一种技巧就是每次递归调用时，它会把之前已经计算好的结果以参数的形式传递过去，同样以f(6)为例

n	ret1	ret2
6	0	1
5	1	1
4	1	2
3	2	3
2	3	5
1	5	8

ret1就是第n项的值，ret2就是第n+1项的值。

递归求斐波那契时，栈内存占用以指数形式增长，而尾递归则是以线性方式增加，且无需重复计算值。