程序猿必修课之数据结构（十）树1

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树是一对多的数据结构

树的定义

树（Tree）是 n （n ≥ 0)个结点的有限集。

n = 0 时，称为空树。

在任意一棵非空树中：

• 有且仅有一个特定的根（root）结点。
• 当 n > 1 时，其余结点可分为 m (m > 0) 个互不相交的有限集，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称之为根的子树（SubTree）。

其实树的定义用到了递归的方法。

常用名词概念

树的每一个结点包含一个数据元素和若干个指向其子树的分支。

结点的度：结点拥有的子树的个数称为结点的度（Degree）。

度为 0 的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点。

度不为 0 的结点称为非终端结点或分支结点。

除根结点之外，分支结点也称为内部结点。

树的度：树内各结点的度的最大值。

下图中，结点度的最大值是结点 D 的度为 3，所以树的度也为 3。

image

结点的层次（Level） 从根开始，根为第一层。

树中结点的最大层次称为树的深度或高度，上图中树的深度为 4。

如果把树中各子树看成从左到右是有序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。

森林：m （m ≥ 0）棵互不相交的树的集合。

线性结构与树结构的对比

线性结构	树结构
第一个数据元素：无前驱 最后一个数据元素：无后继 中间元素：一个前驱一个后继	根结点：无双亲，唯一 叶结点：无孩子，可以多个 中间结点：一个双亲，多个孩子

树的存储结构

树的存储结构的3种表示方法：双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法。

双亲表示法

用一组连续空间存储树的结点，同时每个结点包含数据域和一个指向其双亲的指针域。

结点 ：

data	parent

其中 data 是数据域，存储结点的数据信息。而 parent 是指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标。由于根结点没有双亲，所以我们约定根结点的位置域设置为 - 1，这样所有的结点就都保存了它的双亲的位置了。

二叉树

二叉树( Binary Tree) 是 n(n ≥ 0) 个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成 。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意：不是只有两棵子树，而是最多。没有子树或者有一棵子树都是可以的。
2. 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3. 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分是左子树还是右子树。如下图：树 1 和 树 2 是同一棵树，但它们却是不同的二叉树。

不同的二叉树

二叉树的五种形态

1. 空二叉树。
2. 只有一个根结点。
3. 根结点只有左子树。
4. 根结点只有右子树。
5. 根结点既有左子树又有右子树。

特殊二叉树

1. 斜树
   所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树；所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。左斜树和右斜树统称为斜树。斜树有很明显的特点：就是每一层都只有一个结点，结点的个数与二叉树的深度相同。
2. 满二叉树
   在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
   满二叉树的特点：
   1） 叶子只能出现在最下一层。
   2） 非叶子结点的度一定是 2。
   3） 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。
3. 完全二叉树
   对一棵具有 n 个结点的二叉树按层次编号，如果编号为 i （1≤ i ≤ n) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为 i 的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。
   完全二叉树的特点：
   1）叶子结点只能出现在最下两层。
   2）最下层的叶子一定集中在左边连续位置。
   3）倒数第二层，若有叶子结点，一定都在右边连续位置。
   4）如果结点度为 1，则该结点只有左孩子，不存在只有右孩子的情况。
   5）同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。

二叉树的性质

1. 在二叉树的第 i 层上至多有 2 ^i-1 个结点(i ≥ 1)。
2. 深度为 k 的二叉树至多有 2 ^k - 1个结点（k ≥ 1)。
3. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度为 ⌊ log₂n ⌋ + 1 （⌊x⌋ 表示不大于 x 的最大整数）。

二叉树的存储结构

顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系。

将一棵完全二叉树用顺序存储结构存储。

完全二叉树.png

将这棵二叉树存入到数组中，相应的下标对应其同样的位置

对于一般的二叉树，可以将其按完全二叉树编号，把不存在的结点设置为“^” 就可以了。

但是当一棵深度为 K 的右斜树，它只有 k 个结点，却要分配 2^k -1 个存储单元，这样对存储空间造成浪费。所以，顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

二叉链表

二叉树每个结点最多有两个孩子，所以每个结点包含一个数据域和两个指针域，这样的链表叫做二叉链表。

其中 data 是数据域，lchild 和 rchild 都是指针域，分别存放左孩子和右孩子的指针。