抽象代数习题一则

近来看到一个抽代/组合数学的题目，觉得还有点意思，也不是很难，就拿出来分享下。证明是我自己给出的，有问题或更好的做法，欢迎指出。

符号定义：

1. ;
2. ，，其中为上的置换全体；
3. .

问题:
对，，对，有，其中.

Proof:
令，其中，，不妨令.

取，.
令,,，则
,,.

注意到. 接下来分类讨论.

1. 若不存在，使得，则;
2. 若存在，使得且. 即，则.而，. 即说明只含有中的，只含有中的. 说明使得成立的只有一组，得到;
3. 若存在，使得且，这种情况下. 因此，故.