【译文】补码--理论和示例

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补码表示是数值计算中的一个基本技术，它使得减法操作可以用加法操作来替换。

这篇文章首先用几个例子来回顾补码表示的理论。然后，我们将简单地讨论加法器/减法器的框图。

补码表示是数字计算机表示有符号整数的一种方式。补码表示的主要目的是用加法操作来代替减法操作。通过这种方式，我们可以用同样的电路来处理加法和减法。因此，可以减少门电路的数目，从而减少整个电路系统的大小，能耗。事实上，如果不使用补码表示，我们只能用一种类似平时手算十进制数的方式，这需要两种不同的门电路块来计算加法和减法。此外，在计算之前，还需要一些执行逻辑判断。

知识背景：无符号数的计算

假设我们有一个加法器，输入是两个4比特无符号数，a=a3a2a1a0 和 b=b3b2b1b0，还有一个进位输入信号cin，然后计算它们的和 a+b+cin。要怎么用这个加法器来实现减法操作呢？比如，S = a - b? 在S上减去一个常数M,再减去M, S的结果不变：

当M足够大时，可得：

所以等式1可以写成：

等式3需要一个加法操作和一个减法操作。另外，为了计算B，还需要一个减法操作。看上去把运算变得更加复杂了，因为只需要一个减法操作，而等式3需要一个加法操作，两个减法操作。但是，等式3计算需要的两个减法都是减去同样的常数M, 我们是否能找到一个合适的M，来简化等式2和等式3中的减法操作。如果可以，就能用等式3达到用加法实现减法的目的。所以问题变成：常数M的合适值是多少？在后文会被证明，对于k比特的数，

假设一个4比特无符号数b, 测试减法 .
,所以 。
为了简化运算，可以把M写成 ,代入等式2：

可以很简单地计算,因为事实上是对b按位取反。假设,则

可以看出，括号里的减法其实是b按位取反。因此，要算,只需要对b按位取反再加上. 在后文会提到，从实现的角度，对一个数的按位取反加上是很简单的

得到B之后，可以用加法器计算等式3中的a+B。为了得到最后的结果，还需要把a+B的结果减去M。在上面的例子中，我们考虑的是4比特的无符号数，因此，S能取得最大值时，应该是和,得到. 所以4比特是足够表示4比特减法的。选择 ，加上M或者减去M,只能影响第5位比特的值。所以，,第5位比特值改变第一次。接着，,第5位比特值改变第二次。因为是二进制，则第5位比特值没有改变，所以当计算时，只需要丢弃的第5位比特值即可。事实上，这等价于对作模M运算，限制的值小于等于M-1

上述讨论总结为：如果a和b是两个k比特的无符号数，则a-b等价于计算a加上M-b，然后丢弃第k+1位比特值。在这里M等于

在模M运算中，M-b被称为b的补码(two's complement). 一个数的补码可以通过对这个数按位取反再加1得到。

例子1

a,b均为无符号4比特数，用补码表示计算a-b，,

因为是4比特数，所以。根据上述理论，先求

再把a加上B,

再丢弃第5位比特值，得到

怎么表示有符号整数呢？

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