LeetCode 371 Sum of Two Integers

LeetCode 371 Sum of Two Integers

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Calculate the sum of two integers a and b, but you are not allowed to use the operator + and -.
Example:Given a = 1 and b = 2, return 3.

这里考察的是是否理解计算机如何实现加减法运算。
加法运算由多位串联的全加器实现，而每个全加器实际上又由半加器组成。如下图给出了一个4bit的加法器。

4bit-fullAdder.png

假设有两个bit：a0和b0，半加器的逻辑：

$s0 = a0 xor b0$
$s0 = a0 & bo$

假设有两个4bit的整数相加：a3a2a1a0 + b3b2b1b0，则

$sum = a xor b = (a3 xor b3) (a2 xor b2) (a1 xor b1) (a0 xor b0)$
每一位分别异或运算，求取不考虑进位的各位之和
$carry = a & b = (a3 & b3) (a2 & b2) (a1 & b1) (a0 & b0)$
每一位分别与运算，求取当前这种不考虑进位的加法，各位两个bit相加后产生的进位

下面就到了最trick的部分，由于当前的sum未考虑进位，因为加上carry才是真正的结果。
那carry应该怎么作用到sum上呢？实际上carry是每一bit的进位（此处是4bit），第i位的进位应该作用到i+1位上，用公式可以表达为

$sum = sum + 2 * carry = s3s2s1s0 + c3c2c1c0 << 1$

要注意的是，sum和carry的相加还会产生新的sum和carry，由于高位的carry先传递给高位，但低位的carry还没有传递到，因此sum与carry的相加需要循环多次，知道carry为0时，加法才真正结束。这里的carry左移，与半加器中carryout的传递相对应，第一次左移代表，a0b0的carryout传递完毕，不再考虑a0b0的部分，第二次左移代表a1b1的carryout传递完毕，不再考虑a1b1，以此类推直到a3b3。

这里的carry整体左移，再直接作用到sum上有一些难以理解，特别是sum直接异或carry求取不考虑进位的和，这里一开始可能感觉这个加法不正确，但实际上，第i次的sum xor carry仅仅是确定了倒数第i位的和，剩余的carry信息仍在传递且加法没有结束，这里一定能够要能够理解这种carry传递的思维。

public class Solution {
    public int getSum(int a, int b) {
        while (b != 0) {
            int carry = a & b;
            a = a ^ b;
            b = carry << 1;
        }
        return a;
    }
}