洛谷 P5686 [CSP-SJX2019]和积和

传送门

思路

应用多个前缀和推出式子即可

\(30pts\)：
首先如果暴力算的话很简单，直接套三层循环就好了(真的是三层！！最后两个\(sigma\)一起算就好了)
\[\sum_{l = 1}^{n}\sum_{r = l}^{n}\sum_{i = l}^{r}a[i]\sum_{i = l}^{r}b[i]\]

\(70pts\)：
其实不用这么麻烦，我们发现最后两个\(sigma\)可以用前缀和\(O(1)\)算出来，这样就可以\(70\)分了（见代码\(sub1\)）

\(100pts\)：
考虑再拆一层循环（这里用\(SA\)和\(SB\)数组表示70分钟\(a\)数组和\(b\)数组的前缀和）

我觉得你可以自己展开式子（毕竟不能太懒嘛）

然后就会得到这样一个式子

\[\sum_{l = 1}^{n}(SA[l] * SB[l] + SA[l + 1] * SB[l + 1] + ...+SA[n] * SB[n]) - (SA[l] + SA[l + 1] + ... + SA[n]) * SB[l - 1] - (SB[l] + SB[l + 1] + ... + SB[n]) * SA[l - 1] + (n - l + 1) * SA[l - 1] * SB[l - 1]\]

我们发现这些东西基本都可以用前缀和再求一遍，所以我们要求一下\((SA[l] * SB[l] + SA[l + 1] * SB[l + 1] + ...+SA[n] * SB[n])\)的前缀和（代码中为\(woc\)数组），求一下\(SA\)数组的前缀和（代码中为\(qza\)数组），求一下\(SB\)数组的前缀和（代码中为\(qzb\)数组），然后就可以\(O(n)\)做这道题啦

下面上代码

代码

#include 
#include 
#include 
#define int long long
using namespace std;

const int A = 5e5 + 11;
const int mod = 1e9 + 7;

inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    for( ; !isdigit(c); c = getchar()) if(c == '-') f = -1; 
    for( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - 48;
    return x * f;
}

int n, a[A], b[A], ans = 0, SA[A], SB[A], qza[A], qzb[A];
int woc[A];

void sub1() {
    for(int l = 1; l <= n; l++) {
        for(int r = l; r <= n; r++) {
            ans = (ans + ((SA[r] - SA[l - 1]) % mod + mod) % mod * ((SB[r] - SB[l - 1]) % mod + mod)) % mod;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    return;
}

signed main() {
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read(), SA[i] = (SA[i - 1] + a[i]) % mod;
    for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] = read(), SB[i] = (SB[i - 1] + b[i]) % mod;
    if(n <= 3000) return sub1(), 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++) woc[i] = (woc[i - 1] + SA[i] * SB[i]) % mod; 
    for(int i = 1; i <= n; i++) qza[i] = (qza[i - 1] + SA[i]) % mod; 
    for(int i = 1; i <= n; i++) qzb[i] = (qzb[i - 1] + SB[i]) % mod;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int fuck1 = ((woc[n] - woc[i - 1]) % mod + mod) % mod;
        int fuck2 = ((qza[n] - qza[i - 1]) % mod + mod) % mod * SB[i - 1] % mod;    
        int fuck3 = ((qzb[n] - qzb[i - 1]) % mod + mod) % mod * SA[i - 1] % mod;
        int fuck4 = (((n - i + 1) % mod * SA[i - 1] % mod * SB[i - 1]) % mod + mod) % mod;
        int now = fuck1 - fuck2 - fuck3 + fuck4;
        ans = ((ans + now % mod) % mod + mod) % mod;
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0;
}