建模之三快速傅里叶变换

在数字电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号x（t）先通过取样，离散化为一列数字脉冲信号x（0），x（1），…，然后再通过编码送到传输电路中。如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数字脉冲序列将非常庞大，因此传输这个编码信号就需要长时间占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。那么能否经过适当处理使上述的数字脉冲序列变短，而又不会丧失有用的信息？

经过研究发现，如果对上述数字脉冲序列作如下的变换处理

离散傅里叶变换

则所得到的新序列X（0），X（1），…将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一个很狭窄的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。上图就是所谓的离散傅里叶变换，简称DFT。

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1. 傅里叶变换

如果x（t）是定义在整个实轴上的实值或复值函数，则其傅里叶变换为

图片.png

若对任意参数f，上述积分都存在，则上图确定了一个函数X（f），称为x（t）的傅里叶变换。

如果已知X（f），则利用如下的傅里叶逆变换可复原x（t）：

图片.png

若x（t）和X（f）同时满足式上两式，则称它们是一个傅里叶变换对。

2. 傅里叶积分的离散化

由于傅里叶变换无法用数字计算机进行逻辑运算，所以工程分析中通常采用抽样的方法，观测x（t）的一些离散值，然后利用数值积分将傅里叶变换离散化。取2N+1个相互间隔为△t的时间序列得到x（t）离散化序列，即x（−N△t），…，x（−△t），x（0），x（△t），…，x（N△t）。于是当N充分大时，有

式（3-4）

以j△t（j=0，±1，±2，…，±N）为节点，对式（3-4）用复合梯形公式做Euler数值积分得

式（3-5）

对f进行离散化，取（j=0，1，2，…，N−1），则上式可改写为

式（3-6）

式（3-6）

3. 离散傅里叶变换

式（3-6）可用以下更为一般的方式定义：设xn 是长为N的复序列，N点的离散Fourier变换定义为

（3-7）

图片.png

WN 是复数方程ZN =1的单位根（简记W=WN ）。