省选模拟2

A.铁轨建设

  考场上打了插头$DP$,妄想不A也有七八十分,然而数据把插头$dp$卡的很死,所以就只剩45了。

  正解网络流,类似无限之环,将每个点拆成四个方向,只要建图保证关键点建直路费用为1,其他费用为0即可,然后跑费用流就可以得到答案。

B.圈地游戏

  考场以为是网络流,然后伪了。

  正解是最短路树?没看懂。

C.组合数学

  题解上来一个题意转化就看蒙了:

  共有n种球,每种球有$a_{i}$个,按照顺序标号,那么枚举n的排列,要求对于每种球,1号球必须在同种球的最前面,1号球的排列与枚举的排列相同。

  这样我们可以拟合出前缀和的效果,然而和题目中给的式子还是有所不同,多除掉了一项前缀和。

  那么可以继续转化:如果不要求最后一种球的1号球在同种球的最前面,那么排列的方案数就是题中所给的式子。

  考虑枚举最后一种球是哪种,设这种球第一次出现的位置是$pos$,这种球为$last$

  那么设$f_{i}$表示至少i种球放到了$last$后面,这个东西二项式反演就可以得到合法方案数了。

  有:

  $f_{i}=\frac{(t+a_{last}-1!}{\Pi b}*\binom{m-pos}{t+a_{last}-1}*\frac{(m-t-a_{last})!}{\Pi c}$

  其中$b$表示放在$last$后面的球的集合,$c$表示放在前面的球的集合。

  发现这个东西只和两部分球的个数有关,打个背包就完了。

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