拓扑排序（图）、冒泡排序、插入排序

拓扑排序

AOV网络（Activity On Vertex）
拓扑序：如果在图中从V到W有一条有向路径，则V一定排在W之前。满足此条件的顶点序列称为一个拓扑序
获得一个拓扑序的过程就是拓扑排序
AVO如果有合理的拓扑序，则必定是有向无环图（Directed Acyclic Graph，DAG）
算法：
void TopSort ( )
{
for ( cnt = 0 ; cnt < [ V ] ; cnt ++ ) {
V = 未输出的入度为0的顶点 ;
if ( 这样的V不存在 ) {
Error ( “图中有回路” ) ;
break ;
}
输出V，或者纪录V的输出序号；
for ( V 的每个邻接点 W )
Indegree [ W ]－－；
}
}

改进：随时将入度变为0的顶点放到一个容器里
void TopSort ( )
{
for ( 图中每个顶点 V ) {
if ( Indegree [ W ] == 0 )
Enqueue ( V , Q ) ;
while ( ! IsEmpty ( Q ) ) ;
V = Dequeue ( Q ) ;
输出V，或者纪录V的输出序号；
cnt ++; // 计数器，纪录顶点数量
for ( V 的每个邻接点 W )
if ( —Indegree [ W ] == 0 ) //如果减完后入度为0，则将其放入容器中
Enqueue ( W , Q ) ;
}
if ( cnt != [ V ] )
Error ( “图中有回路” )；
}
时间复杂度 T = O( |V| + |E| )
此算法可以用来检测有向图是否DAG

关键路径问题
AOE（Activity On Edge）网络
一般用于安排项目的工序，活动表示在边上，顶点代表活动的停止；边上写有活动持续时间
顶点包括：顶点编号、最早完成时间、最晚完成时间

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两类基础算法，排序和查找
排序算法的前提前提：
void X_Sort ( ElementType A [ ], int N )
1.大多数情况下，为简单起见，讨论从小到大的整数排序
2.N是正整数，只讨论基于比较的排序（> ＝ < 是有定义的）
3.只讨论内部排序：内存空间充分大，排序在内部空间中完成
4.稳定性：任意两个相等的数据，排序前后的相对位置不发生改变
5.没有一种排序算法是任何情况下都表现最好的

－简单排序：

－冒泡排序

void Bubble_Sort ( ElementType A[ ] , int N )
{
for ( P = N - 1 ; P >= 0 ; P — ) {
flag = 0 ;
for ( i = 0 ; i < p ; i ++ ) { // 一趟冒泡
if ( A[ i ] > A[ i + 1 ] ) { // 比较相邻两个元素的大小
Swap ( A[ i ] , A[ i + 1 ] ) ;
flag = 1 ; // 标识发生了交换
}
} // 思考：假设当程序执行到某一步时 数据已经是有序的了，但此时程序是不知道的，所以还要判断
if ( flag == 0 ) break ; // 全程无交换 数据已经有序 不需要再进从排序
}
}
最好情况：顺序 T = O ( N )
最坏情况：逆序 T = O ( N的平方 )
由于是单向执行，比较相邻的两个元素，所以适用于链表存储的数据
当两个数据相等，冒泡排序的比较过程中没有将它们交换位置，所以改算法是稳定的

－插入排序

void Insertion_Sort ( ElementType A[ ] , int N )
{
for ( P = 1 ; P < N ; P ++ ) // 假设第0个元素已经存在，从第一个元素开始插入
{
Tmp = A[ P ] ; // 下一个元素
for ( i = P ; i > 0 && A[ i - 1 ] > Tmp ; i -- ) // 需要插入的新元素当前从最后那个元素开始比起，比到第一个元素
A[ i ] = A[ i - 1 ] ; // 移除空位
A[ i ] = Tmp ; // 新元素落位
}
}

最好情况：顺序 T = O ( N )
最坏情况：逆序 T = O ( N的平方 )
冒泡元素是两两交换 需要涉及到三步，插入排序元素向后错，新元素一次放入

逆序对：对于下标 i < j，如果A[ i ] > A[ j ]，则称 ( i , j )是一对逆序对
每一次交换元素正好消去一个逆序对，序列中有多少个逆序对，就需要交换几次元素
时间复杂度下界：
插入排序：T( N , I ) = O( N + I ) 其中 I 是逆序对个数，如果序列基本有序，则插入排序简单且高效
定理：任意N个不同元素组成的序列平均有 N（N－1）／4 个逆序对。
定理：任何仅以交换相邻元素来排序的算法，其平均时间复杂度的下界为N平方
要提高算法效率，我们必须：每次交换不止消去一个逆序对，所以我们每次交换相隔较远的两个个元素