图形学2：几何变换

继续图形学期末考试攻略系列~

二、几何变换

老师说，几何变换也会考一道大题，一起来回顾一下吧。

相关习题：
"第三次作业答案.doc" 5.7 5.10

"计算机图形图像处理.pdf" 三.1题

复合变换解题技巧：
二维和三维的计算很相似，关键是要多做几道题，掌握方法，确保不要算错。下面列出一些需要注意的地方：

1. 逆时针旋转为正角度。
2. 复合变换的时候先进行变换的步骤对应的矩阵写在右边。
3. 算出复合矩阵后取特殊点进行验算

齐次坐标：
表示就是用n+1维向量表示一个n维向量。–齐次坐标的不唯一性设二维坐标为（x,y）,则齐次坐标为（hx，hy，h），h为任意数。

标准化齐次坐标：
表示就是h=1的齐次坐标表示。所以当h=1时，（hx，hy，h）标准化齐次坐标为（x，y，1）。

二维基本几何变换

1. 平移

2. 旋转

二维旋转是指将p点绕坐标原点转动某个角度（逆时针为正，顺时针为负）得到新的点p’的重定位过程。

3. 缩放

比例变换是指对p点相对于坐标原点沿x方向放缩Sx倍，沿y方向放缩Sy倍。其中Sx和Sy称为比例系数。

4. 反射

(1) 关于x轴对称: x'=x; y'=-y;

(2) 关于y轴对称: x'=-x; y'=y;

(3) 关于原点对称: x'=-x; y'=-y;

(4) 关于y=x轴对称: x'=y; y'=x;

(5) 关于y=-x轴对称: x'=-y; y'=-x;

5. 错切变换

不考

6. 复合变换（重点）

三维基本几何变换

1. 平移

x'=x+a

y'=y+b

z'=z+c

2. 旋转

绕z轴的旋转方程式:

绕x轴的旋转方程式:

绕y轴的旋转方程式:

3. 缩放

x'=ax

y'=by

z'=c*z

4. 反射

对称于XOY平面

对称于YOZ平面

对称于XOZ平面

5. 错切变换

不考

6. 复合变换（重点）

6.1 给定点的缩放变换

相对于某一给定点（xc ,yc ,zc ）的缩放变换可以用下
列序列进行表示:

1. 平移给定点到原点
2. 是用缩放变换矩阵进行相对于原点的缩放
3. 平移给定点到原始位置。

6.2 绕给定轴的旋转

如果物体的旋转轴平行某个坐标轴，那么通过以下步骤
进行变换

1. 平移物体使其旋转轴与平行于该轴的一个坐标轴重
   合。
2. 对于该轴完成指定的旋转
3. 平移物体将其旋转轴移回到原来的位置。

如果物体绕的轴与每个坐标轴都不平行的话，就需要
进行额外的变换。需5个变换步骤：

1. 平移物体与旋转轴，使得旋转轴通过坐标原点
2. 旋转物体使得旋转轴与某一坐标轴重合
3. 绕坐标轴完成指定的旋转
4. 利用逆旋转使旋转轴回到其原始方向
5. 利用逆平移使旋转轴回到其原始位置